MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recvs 22992
Description: The field of the real numbers as left module over itself is a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
recvs.r 𝑅 = (ringLMod‘ℝfld)
Assertion
Ref Expression
recvs 𝑅 ∈ ℂVec

Proof of Theorem recvs
StepHypRef Expression
1 refld 20013 . . . . . 6 fld ∈ Field
2 fldidom 19353 . . . . . . 7 (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ IDomn)
3 isidom 19352 . . . . . . . 8 (ℝfld ∈ IDomn ↔ (ℝfld ∈ CRing ∧ ℝfld ∈ Domn))
4 crngring 18604 . . . . . . . . 9 (ℝfld ∈ CRing → ℝfld ∈ Ring)
54adantr 480 . . . . . . . 8 ((ℝfld ∈ CRing ∧ ℝfld ∈ Domn) → ℝfld ∈ Ring)
63, 5sylbi 207 . . . . . . 7 (ℝfld ∈ IDomn → ℝfld ∈ Ring)
72, 6syl 17 . . . . . 6 (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ Ring)
81, 7ax-mp 5 . . . . 5 fld ∈ Ring
9 rlmlmod 19253 . . . . 5 (ℝfld ∈ Ring → (ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod)
108, 9ax-mp 5 . . . 4 (ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod
11 rlmsca 19248 . . . . . 6 (ℝfld ∈ Field → ℝfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)))
121, 11ax-mp 5 . . . . 5 fld = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld))
13 df-refld 19999 . . . . 5 fld = (ℂflds ℝ)
1412, 13eqtr3i 2675 . . . 4 (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (ℂflds ℝ)
15 resubdrg 20002 . . . . 5 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
1615simpli 473 . . . 4 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
17 eqid 2651 . . . . 5 (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld))
1817isclmi 22923 . . . 4 (((ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (ℂflds ℝ) ∧ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ringLMod‘ℝfld) ∈ ℂMod)
1910, 14, 16, 18mp3an 1464 . . 3 (ringLMod‘ℝfld) ∈ ℂMod
2015simpri 477 . . . 4 fld ∈ DivRing
21 rlmlvec 19254 . . . 4 (ℝfld ∈ DivRing → (ringLMod‘ℝfld) ∈ LVec)
2220, 21ax-mp 5 . . 3 (ringLMod‘ℝfld) ∈ LVec
2319, 22elini 3830 . 2 (ringLMod‘ℝfld) ∈ (ℂMod ∩ LVec)
24 recvs.r . 2 𝑅 = (ringLMod‘ℝfld)
25 df-cvs 22970 . 2 ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
2623, 24, 253eltr4i 2743 1 𝑅 ∈ ℂVec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cin 3606  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  s cress 15905  Scalarcsca 15991  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594  DivRingcdr 18795  Fieldcfield 18796  SubRingcsubrg 18824  LModclmod 18911  LVecclvec 19150  ringLModcrglmod 19217  Domncdomn 19328  IDomncidom 19329  fldccnfld 19794  fldcrefld 19998  ℂModcclm 22908  ℂVecccvs 22969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-field 18798  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lvec 19151  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-nzr 19306  df-rlreg 19331  df-domn 19332  df-idom 19333  df-cnfld 19795  df-refld 19999  df-clm 22909  df-cvs 22970
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator