Theorem recvs 22992

Description: The field of the real numbers as left module over itself is a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
recvs.r	⊢ 𝑅 = (ringLMod‘ℝfld)

Assertion

Ref	Expression
recvs	⊢ 𝑅 ∈ ℂVec

Proof of Theorem recvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refld 20013	. . . . . 6 ⊢ ℝfld ∈ Field
2		fldidom 19353	. . . . . . 7 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ IDomn)
3		isidom 19352	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝfld ∈ IDomn ↔ (ℝfld ∈ CRing ∧ ℝfld ∈ Domn))
4		crngring 18604	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝfld ∈ CRing → ℝfld ∈ Ring)
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝfld ∈ CRing ∧ ℝfld ∈ Domn) → ℝfld ∈ Ring)
6	3, 5	sylbi 207	. . . . . . 7 ⊢ (ℝfld ∈ IDomn → ℝfld ∈ Ring)
7	2, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ Ring)
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Ring
9		rlmlmod 19253	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → (ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod
11		rlmsca 19248	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)))
12	1, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld))
13		df-refld 19999	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
14	12, 13	eqtr3i 2675	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (ℂfld ↾s ℝ)
15		resubdrg 20002	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
16	15	simpli 473	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
17		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld))
18	17	isclmi 22923	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (ℂfld ↾s ℝ) ∧ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ringLMod‘ℝfld) ∈ ℂMod)
19	10, 14, 16, 18	mp3an 1464	. . 3 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ ℂMod
20	15	simpri 477	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
21		rlmlvec 19254	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → (ringLMod‘ℝfld) ∈ LVec)
22	20, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ LVec
23	19, 22	elini 3830	. 2 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ (ℂMod ∩ LVec)
24		recvs.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (ringLMod‘ℝfld)
25		df-cvs 22970	. 2 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
26	23, 24, 25	3eltr4i 2743	1 ⊢ 𝑅 ∈ ℂVec

Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ∩ cin 3606  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973   ↾_s cress 15905  Scalarcsca 15991  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594  DivRingcdr 18795  Fieldcfield 18796  SubRingcsubrg 18824  LModclmod 18911  LVecclvec 19150  ringLModcrglmod 19217  Domncdomn 19328  IDomncidom 19329  ℂ_fldccnfld 19794  ℝ_fldcrefld 19998  ℂModcclm 22908  ℂVecccvs 22969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-addf 10053  ax-mulf 10054

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-field 18798  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lvec 19151  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-nzr 19306  df-rlreg 19331  df-domn 19332  df-idom 19333  df-cnfld 19795  df-refld 19999  df-clm 22909  df-cvs 22970

This theorem is referenced by: (None)