MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  redivcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem redivcld 10797
Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
redivcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
redivcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
redivcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
redivcld (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem redivcld
StepHypRef Expression
1 redivcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 redivcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 redivcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 redivcl 10688 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
51, 2, 3, 4syl3anc 1323 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  wne 2790  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880   / cdiv 10628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629
This theorem is referenced by:  recp1lt1  10865  ledivp1  10869  supmul1  10936  rimul  10955  div4p1lem1div2  11231  divelunit  12256  fldiv4p1lem1div2  12576  fldiv4lem1div2uz2  12577  quoremz  12594  intfracq  12598  fldiv  12599  modmulnn  12628  modmuladd  12652  modmuladdnn0  12654  expnbnd  12933  discr1  12940  discr  12941  sqreulem  14033  fprodle  14652  fldivndvdslt  15062  flodddiv4t2lthalf  15064  iccpnfhmeo  22652  ipcau2  22941  mbfmulc2lem  23320  i1fmulc  23376  itg1mulc  23377  itg2monolem3  23425  dvferm2lem  23653  dvcvx  23687  radcnvlem1  24071  tanord1  24187  logf1o2  24296  relogbcl  24411  ang180lem2  24440  chordthmlem2  24460  jensenlem2  24614  regamcl  24687  gausslemma2dlem0d  24984  gausslemma2dlem3  24993  gausslemma2dlem4  24994  gausslemma2dlem5  24996  2lgslem1a2  25015  2lgslem1  25019  2lgslem2  25020  2lgsoddprmlem2  25034  selberg3lem1  25146  selberg4lem1  25149  ostth2  25226  ttgcontlem1  25665  colinearalg  25690  axsegconlem8  25704  axpaschlem  25720  axeuclidlem  25742  nmophmi  28739  unitdivcld  29729  dya2icoseg  30120  dya2iocucvr  30127  signsply0  30408  sinccvglem  31274  circum  31276  knoppndvlem1  32145  knoppndvlem14  32158  knoppndvlem15  32159  knoppndvlem17  32161  knoppndvlem18  32162  knoppndvlem19  32163  knoppndvlem21  32165  poimirlem31  33072  itg2addnclem  33093  itg2addnclem2  33094  areacirclem1  33132  areacirclem4  33135  pellexlem1  36873  pellexlem6  36878  reglogcl  36934  modabsdifz  37033  areaquad  37283  imo72b2  37957  hashnzfzclim  38003  sineq0ALT  38656  suplesup  39019  reclt0d  39071  xrralrecnnge  39077  ltdiv23neg  39081  iooiinioc  39194  0ellimcdiv  39285  dvdivbd  39444  ioodvbdlimc1lem1  39452  ioodvbdlimc1lem2  39453  ioodvbdlimc2lem  39455  stoweidlem1  39525  stoweidlem13  39537  stoweidlem26  39550  stoweidlem34  39558  stoweidlem36  39560  stoweidlem51  39575  stoweidlem60  39584  wallispilem4  39592  wallispilem5  39593  stirlingr  39614  dirker2re  39616  dirkerval2  39618  dirkerre  39619  dirkertrigeq  39625  dirkeritg  39626  dirkercncflem1  39627  dirkercncflem4  39630  fourierdlem4  39635  fourierdlem7  39638  fourierdlem9  39640  fourierdlem16  39647  fourierdlem19  39650  fourierdlem21  39652  fourierdlem22  39653  fourierdlem24  39655  fourierdlem26  39657  fourierdlem30  39661  fourierdlem39  39670  fourierdlem41  39672  fourierdlem42  39673  fourierdlem43  39674  fourierdlem47  39677  fourierdlem48  39678  fourierdlem49  39679  fourierdlem51  39681  fourierdlem56  39686  fourierdlem57  39687  fourierdlem58  39688  fourierdlem59  39689  fourierdlem63  39693  fourierdlem64  39694  fourierdlem66  39696  fourierdlem71  39701  fourierdlem72  39702  fourierdlem78  39708  fourierdlem83  39713  fourierdlem87  39717  fourierdlem89  39719  fourierdlem90  39720  fourierdlem91  39721  fourierdlem95  39725  fourierdlem103  39733  fourierdlem104  39734  etransclem48  39806  qndenserrnbllem  39821  sge0rpcpnf  39945  sge0ad2en  39955  ovnsubaddlem1  40091  hoidmvlelem3  40118  ovolval5lem1  40173  ovolval5lem2  40174  vonioolem2  40202  vonicclem2  40205  pimrecltneg  40240  smfrec  40303  smfdiv  40311  sigardiv  40354  lighneallem2  40822  modn0mul  41603  refdivmptf  41628  fldivexpfllog2  41651  dignnld  41689  dig2nn1st  41691  dig2bits  41700  dignn0flhalflem2  41702
  Copyright terms: Public domain W3C validator