Theorem redivcld 11467

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem redivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		redivcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		redivcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		redivcl 11358	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1367	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  (class class class)co 7155  ℝcr 10535  0cc0 10536   / cdiv 11296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297

This theorem is referenced by:  recp1lt1  11537  ledivp1  11541  supmul1  11609  rimul  11628  div4p1lem1div2  11891  divelunit  12879  fldiv4p1lem1div2  13204  fldiv4lem1div2uz2  13205  quoremz  13222  intfracq  13226  fldiv  13227  modmulnn  13256  modmuladd  13280  modmuladdnn0  13282  expnbnd  13592  discr1  13599  discr  13600  sqreulem  14718  fprodle  15349  fldivndvdslt  15764  flodddiv4t2lthalf  15766  iccpnfhmeo  23548  ipcau2  23836  mbfmulc2lem  24247  i1fmulc  24303  itg1mulc  24304  itg2monolem3  24352  dvferm2lem  24582  dvcvx  24616  radcnvlem1  25000  tanord1  25120  logf1o2  25232  relogbcl  25350  ang180lem2  25387  chordthmlem2  25410  jensenlem2  25564  regamcl  25637  gausslemma2dlem0d  25934  gausslemma2dlem3  25943  gausslemma2dlem4  25944  gausslemma2dlem5  25946  2lgslem1a2  25965  2lgslem1  25969  2lgslem2  25970  2lgsoddprmlem2  25984  selberg3lem1  26132  selberg4lem1  26135  ostth2  26212  ttgcontlem1  26670  colinearalg  26695  axsegconlem8  26709  axpaschlem  26725  axeuclidlem  26747  nmophmi  29807  unitdivcld  31144  dya2icoseg  31535  dya2iocucvr  31542  signsply0  31821  logdivsqrle  31921  hgt750lem  31922  hgt750leme  31929  tgoldbachgtde  31931  sinccvglem  32915  circum  32917  knoppndvlem1  33851  knoppndvlem14  33864  knoppndvlem15  33865  knoppndvlem17  33867  knoppndvlem18  33868  knoppndvlem19  33869  knoppndvlem21  33871  poimirlem31  34922  itg2addnclem  34942  itg2addnclem2  34943  areacirclem1  34981  areacirclem4  34984  pellexlem1  39424  pellexlem6  39429  reglogcl  39485  modabsdifz  39581  areaquad  39821  imo72b2  40523  hashnzfzclim  40652  sineq0ALT  41269  suplesup  41605  reclt0d  41656  xrralrecnnge  41660  ltdiv23neg  41664  iooiinioc  41830  0ellimcdiv  41928  dvdivbd  42206  ioodvbdlimc1lem1  42214  ioodvbdlimc1lem2  42215  ioodvbdlimc2lem  42217  stoweidlem1  42285  stoweidlem13  42297  stoweidlem26  42310  stoweidlem34  42318  stoweidlem36  42320  stoweidlem51  42335  stoweidlem60  42344  wallispilem4  42352  wallispilem5  42353  stirlingr  42374  dirker2re  42376  dirkerval2  42378  dirkerre  42379  dirkertrigeq  42385  dirkeritg  42386  dirkercncflem1  42387  dirkercncflem4  42390  fourierdlem4  42395  fourierdlem7  42398  fourierdlem9  42400  fourierdlem16  42407  fourierdlem19  42410  fourierdlem21  42412  fourierdlem22  42413  fourierdlem24  42415  fourierdlem26  42417  fourierdlem30  42421  fourierdlem39  42430  fourierdlem41  42432  fourierdlem42  42433  fourierdlem43  42434  fourierdlem47  42437  fourierdlem48  42438  fourierdlem49  42439  fourierdlem51  42441  fourierdlem56  42446  fourierdlem57  42447  fourierdlem58  42448  fourierdlem59  42449  fourierdlem63  42453  fourierdlem64  42454  fourierdlem66  42456  fourierdlem71  42461  fourierdlem72  42462  fourierdlem78  42468  fourierdlem83  42473  fourierdlem87  42477  fourierdlem89  42479  fourierdlem90  42480  fourierdlem91  42481  fourierdlem95  42485  fourierdlem103  42493  fourierdlem104  42494  etransclem48  42566  qndenserrnbllem  42578  sge0rpcpnf  42702  sge0ad2en  42712  ovnsubaddlem1  42851  hoidmvlelem3  42878  ovolval5lem1  42933  ovolval5lem2  42934  vonioolem2  42962  vonicclem2  42965  pimrecltneg  43000  smfrec  43063  smfdiv  43071  sigardiv  43117  lighneallem2  43770  requad01  43785  requad1  43786  requad2  43787  modn0mul  44579  refdivmptf  44601  fldivexpfllog2  44624  dignnld  44662  dig2nn1st  44664  dig2bits  44673  dignn0flhalflem2  44675  affinecomb1  44688  eenglngeehlnmlem1  44723  eenglngeehlnmlem2  44724  rrx2vlinest  44727  line2ylem  44737  line2  44738  line2xlem  44739  itsclc0lem1  44742  itsclc0lem2  44743  itscnhlc0yqe  44745  itsclquadb  44762