Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  redwlklem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem redwlklem 26454
 Description: Lemma for redwlk 26455. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
redwlklem ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶𝑉)

Proof of Theorem redwlklem
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . 5 (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
2 fzossfz 12437 . . . . 5 (0..^(#‘𝐹)) ⊆ (0...(#‘𝐹))
3 fssres 6032 . . . . 5 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (0..^(#‘𝐹)) ⊆ (0...(#‘𝐹))) → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0..^(#‘𝐹))⟶𝑉)
41, 2, 3sylancl 693 . . . 4 (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0..^(#‘𝐹))⟶𝑉)
54ex 450 . . 3 ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0..^(#‘𝐹))⟶𝑉))
6 lencl 13271 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
76nn0zd 11432 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
8 fzoval 12420 . . . . . . 7 ((#‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝐹)) = (0...((#‘𝐹) − 1)))
97, 8syl 17 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (0..^(#‘𝐹)) = (0...((#‘𝐹) − 1)))
109adantr 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (0..^(#‘𝐹)) = (0...((#‘𝐹) − 1)))
11 wrdred1hash 13297 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1))
12 oveq2 6618 . . . . . . 7 ((#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1) → (0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))))) = (0...((#‘𝐹) − 1)))
1312eqeq2d 2631 . . . . . 6 ((#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1) → ((0..^(#‘𝐹)) = (0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))))) ↔ (0..^(#‘𝐹)) = (0...((#‘𝐹) − 1))))
1411, 13syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → ((0..^(#‘𝐹)) = (0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))))) ↔ (0..^(#‘𝐹)) = (0...((#‘𝐹) − 1))))
1510, 14mpbird 247 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (0..^(#‘𝐹)) = (0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))))))
1615feq2d 5993 . . 3 ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0..^(#‘𝐹))⟶𝑉 ↔ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶𝑉))
175, 16sylibd 229 . 2 ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶𝑉))
18173impia 1258 1 ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶𝑉)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3559   class class class wbr 4618   ↾ cres 5081  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9888  1c1 9889   ≤ cle 10027   − cmin 10218  ℤcz 11329  ...cfz 12276  ..^cfzo 12414  #chash 13065  Word cword 13238 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-word 13246 This theorem is referenced by:  redwlk  26455
 Copyright terms: Public domain W3C validator