MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reeff1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reeff1 14770
Description: The exponential function maps real arguments one-to-one to positive reals. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
reeff1 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+

Proof of Theorem reeff1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eff 14732 . . . . 5 exp:ℂ⟶ℂ
2 ffn 6004 . . . . 5 (exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 exp Fn ℂ
4 ax-resscn 9938 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
5 fnssres 5964 . . . 4 ((exp Fn ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (exp ↾ ℝ) Fn ℝ)
63, 4, 5mp2an 707 . . 3 (exp ↾ ℝ) Fn ℝ
7 fvres 6165 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
8 rpefcl 14754 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
97, 8eqeltrd 2704 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) ∈ ℝ+)
109rgen 2922 . . 3 𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) ∈ ℝ+
11 ffnfv 6344 . . 3 ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) ∈ ℝ+))
126, 10, 11mpbir2an 954 . 2 (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+
13 fvres 6165 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) = (exp‘𝑦))
147, 13eqeqan12d 2642 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) ↔ (exp‘𝑥) = (exp‘𝑦)))
15 reef11 14769 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) = (exp‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
1615biimpd 219 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) = (exp‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
1714, 16sylbid 230 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
1817rgen2a 2976 . 2 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
19 dff13 6467 . 2 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
2012, 18, 19mpbir2an 954 1 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  wss 3560  cres 5081   Fn wfn 5845  wf 5846  1-1wf1 5847  cfv 5850  cc 9879  cr 9880  +crp 11776  expce 14712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12120  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-seq 12739  df-exp 12798  df-fac 12998  df-bc 13027  df-hash 13055  df-shft 13736  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-limsup 14131  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-sum 14346  df-ef 14718
This theorem is referenced by:  reeff1o  24100  seff  37976
  Copyright terms: Public domain W3C validator