MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reefgim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reefgim 23953
Description: The exponential function is a group isomorphism from the group of reals under addition to the group of positive reals under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
reefgim.1 𝑃 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
Assertion
Ref Expression
reefgim (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpIso 𝑃)

Proof of Theorem reefgim
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rebase 19719 . . . 4 ℝ = (Base‘ℝfld)
2 eqid 2609 . . . . . 6 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
32rpmsubg 19578 . . . . 5 + ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
4 reefgim.1 . . . . . . 7 𝑃 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
5 cnex 9874 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
6 difexg 4730 . . . . . . . . 9 (ℂ ∈ V → (ℂ ∖ {0}) ∈ V)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℂ ∖ {0}) ∈ V
8 rpcn 11676 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
9 rpne0 11683 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
10 eldifsn 4259 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
118, 9, 10sylanbrc 694 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
1211ssriv 3571 . . . . . . . 8 + ⊆ (ℂ ∖ {0})
13 ressabs 15715 . . . . . . . 8 (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+))
147, 12, 13mp2an 703 . . . . . . 7 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
154, 14eqtr4i 2634 . . . . . 6 𝑃 = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+)
1615subgbas 17370 . . . . 5 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ = (Base‘𝑃))
173, 16ax-mp 5 . . . 4 + = (Base‘𝑃)
18 replusg 19723 . . . 4 + = (+g‘ℝfld)
19 eqid 2609 . . . . . . 7 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
20 cnfldmul 19522 . . . . . . 7 · = (.r‘ℂfld)
2119, 20mgpplusg 18265 . . . . . 6 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
224, 21ressplusg 15767 . . . . 5 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → · = (+g𝑃))
233, 22ax-mp 5 . . . 4 · = (+g𝑃)
24 resubdrg 19721 . . . . . . 7 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
2524simpli 472 . . . . . 6 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
26 df-refld 19718 . . . . . . 7 fld = (ℂflds ℝ)
2726subrgring 18555 . . . . . 6 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝfld ∈ Ring)
2825, 27ax-mp 5 . . . . 5 fld ∈ Ring
29 ringgrp 18324 . . . . 5 (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Grp)
3028, 29mp1i 13 . . . 4 (⊤ → ℝfld ∈ Grp)
3115subggrp 17369 . . . . 5 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → 𝑃 ∈ Grp)
323, 31mp1i 13 . . . 4 (⊤ → 𝑃 ∈ Grp)
33 reeff1o 23950 . . . . 5 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
34 f1of 6035 . . . . 5 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
3533, 34mp1i 13 . . . 4 (⊤ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
36 recn 9883 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
37 recn 9883 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
38 efadd 14612 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + 𝑦)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑦)))
3936, 37, 38syl2an 492 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (exp‘(𝑥 + 𝑦)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑦)))
40 readdcl 9876 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
41 fvres 6102 . . . . . . 7 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (exp‘(𝑥 + 𝑦)))
4240, 41syl 17 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (exp‘(𝑥 + 𝑦)))
43 fvres 6102 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
44 fvres 6102 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) = (exp‘𝑦))
4543, 44oveqan12d 6546 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) · ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑦)))
4639, 42, 453eqtr4d 2653 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) · ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)))
4746adantl 480 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) · ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)))
481, 17, 18, 23, 30, 32, 35, 47isghmd 17441 . . 3 (⊤ → (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpHom 𝑃))
4948trud 1483 . 2 (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpHom 𝑃)
501, 17isgim 17476 . 2 ((exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpIso 𝑃) ↔ ((exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpHom 𝑃) ∧ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+))
5149, 33, 50mpbir2an 956 1 (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpIso 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172  cdif 3536  wss 3539  {csn 4124  cres 5030  wf 5786  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793   + caddc 9796   · cmul 9798  +crp 11667  expce 14580  Basecbs 15644  s cress 15645  +gcplusg 15717  Grpcgrp 17194  SubGrpcsubg 17360   GrpHom cghm 17429   GrpIso cgim 17471  mulGrpcmgp 18261  Ringcrg 18319  DivRingcdr 18519  SubRingcsubrg 18548  fldccnfld 19516  fldcrefld 19717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-tpos 7217  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ioo 12009  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-seq 12622  df-exp 12681  df-fac 12881  df-bc 12910  df-hash 12938  df-shft 13604  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-limsup 13999  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214  df-ef 14586  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-mulg 17313  df-subg 17363  df-ghm 17430  df-gim 17473  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-abl 17968  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321  df-cring 18322  df-oppr 18395  df-dvdsr 18413  df-unit 18414  df-invr 18444  df-dvr 18455  df-drng 18521  df-subrg 18550  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-refld 19718  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-lp 20698  df-perf 20699  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-haus 20877  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-cncf 22437  df-limc 23381  df-dv 23382
This theorem is referenced by:  reloggim  24094
  Copyright terms: Public domain W3C validator