Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reefgim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reefgim 24249
 Description: The exponential function is a group isomorphism from the group of reals under addition to the group of positive reals under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
reefgim.1 𝑃 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
Assertion
Ref Expression
reefgim (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpIso 𝑃)

Proof of Theorem reefgim
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rebase 20000 . . . 4 ℝ = (Base‘ℝfld)
2 eqid 2651 . . . . . 6 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
32rpmsubg 19858 . . . . 5 + ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
4 reefgim.1 . . . . . . 7 𝑃 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
5 cnex 10055 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
6 difexg 4841 . . . . . . . . 9 (ℂ ∈ V → (ℂ ∖ {0}) ∈ V)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℂ ∖ {0}) ∈ V
8 rpcn 11879 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
9 rpne0 11886 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
10 eldifsn 4350 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
118, 9, 10sylanbrc 699 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
1211ssriv 3640 . . . . . . . 8 + ⊆ (ℂ ∖ {0})
13 ressabs 15986 . . . . . . . 8 (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+))
147, 12, 13mp2an 708 . . . . . . 7 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
154, 14eqtr4i 2676 . . . . . 6 𝑃 = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+)
1615subgbas 17645 . . . . 5 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ = (Base‘𝑃))
173, 16ax-mp 5 . . . 4 + = (Base‘𝑃)
18 replusg 20004 . . . 4 + = (+g‘ℝfld)
19 eqid 2651 . . . . . . 7 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
20 cnfldmul 19800 . . . . . . 7 · = (.r‘ℂfld)
2119, 20mgpplusg 18539 . . . . . 6 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
224, 21ressplusg 16040 . . . . 5 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → · = (+g𝑃))
233, 22ax-mp 5 . . . 4 · = (+g𝑃)
24 resubdrg 20002 . . . . . . 7 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
2524simpli 473 . . . . . 6 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
26 df-refld 19999 . . . . . . 7 fld = (ℂflds ℝ)
2726subrgring 18831 . . . . . 6 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝfld ∈ Ring)
2825, 27ax-mp 5 . . . . 5 fld ∈ Ring
29 ringgrp 18598 . . . . 5 (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Grp)
3028, 29mp1i 13 . . . 4 (⊤ → ℝfld ∈ Grp)
3115subggrp 17644 . . . . 5 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → 𝑃 ∈ Grp)
323, 31mp1i 13 . . . 4 (⊤ → 𝑃 ∈ Grp)
33 reeff1o 24246 . . . . 5 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
34 f1of 6175 . . . . 5 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
3533, 34mp1i 13 . . . 4 (⊤ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
36 recn 10064 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
37 recn 10064 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
38 efadd 14868 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + 𝑦)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑦)))
3936, 37, 38syl2an 493 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (exp‘(𝑥 + 𝑦)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑦)))
40 readdcl 10057 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
41 fvres 6245 . . . . . . 7 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (exp‘(𝑥 + 𝑦)))
4240, 41syl 17 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (exp‘(𝑥 + 𝑦)))
43 fvres 6245 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
44 fvres 6245 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) = (exp‘𝑦))
4543, 44oveqan12d 6709 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) · ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑦)))
4639, 42, 453eqtr4d 2695 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) · ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)))
4746adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) · ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)))
481, 17, 18, 23, 30, 32, 35, 47isghmd 17716 . . 3 (⊤ → (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpHom 𝑃))
4948trud 1533 . 2 (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpHom 𝑃)
501, 17isgim 17751 . 2 ((exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpIso 𝑃) ↔ ((exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpHom 𝑃) ∧ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+))
5149, 33, 50mpbir2an 975 1 (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpIso 𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ⊆ wss 3607  {csn 4210   ↾ cres 5145  ⟶wf 5922  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977   · cmul 9979  ℝ+crp 11870  expce 14836  Basecbs 15904   ↾s cress 15905  +gcplusg 15988  Grpcgrp 17469  SubGrpcsubg 17635   GrpHom cghm 17704   GrpIso cgim 17746  mulGrpcmgp 18535  Ringcrg 18593  DivRingcdr 18795  SubRingcsubrg 18824  ℂfldccnfld 19794  ℝfldcrefld 19998 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-gim 17748  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-refld 19999  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676 This theorem is referenced by:  reloggim  24390
 Copyright terms: Public domain W3C validator