Theorem reexpcl 13071

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 10185	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 10213	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 10231	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 13065	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2139  (class class class)co 6813  ℝcr 10127  ℕ₀cn0 11484  ↑cexp 13054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-seq 12996  df-exp 13055

This theorem is referenced by:  expgt1  13092  leexp2r  13112  leexp1a  13113  resqcl  13125  bernneq  13184  bernneq3  13186  expnbnd  13187  expnlbnd  13188  expmulnbnd  13190  digit2  13191  digit1  13192  reexpcld  13219  faclbnd  13271  faclbnd2  13272  faclbnd3  13273  faclbnd4lem1  13274  faclbnd5  13279  faclbnd6  13280  geomulcvg  14806  reeftcl  15004  ege2le3  15019  eftlub  15038  eflegeo  15050  resin4p  15067  recos4p  15068  ef01bndlem  15113  sin01bnd  15114  cos01bnd  15115  sin01gt0  15119  rpnnen2lem2  15143  rpnnen2lem4  15145  rpnnen2lem11  15152  powm2modprm  15710  prmreclem6  15827  mbfi1fseqlem6  23686  aaliou3lem8  24299  radcnvlem1  24366  abelthlem5  24388  abelthlem7  24391  tangtx  24456  advlogexp  24600  logtayllem  24604  leibpilem2  24867  leibpi  24868  leibpisum  24869  basellem3  25008  chtublem  25135  logexprlim  25149  dchrisum0flblem1  25396  pntlem3  25497  ostth2lem1  25506  ostth2lem3  25523  ostth3  25526  hgt750lem  31038  tgoldbachgnn  31046  subfacval2  31476  nn0prpw  32624  mblfinlem1  33759  mblfinlem2  33760  bfplem1  33934  rpexpmord  38015  tgoldbach  42215  tgoldbachOLD  42222  dignn0fr  42905  digexp  42911  dig2bits  42918