Theorem reexpcl 12694

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 9849	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 9877	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 9895	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 12688	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∈ wcel 1976  (class class class)co 6527  ℝcr 9791  ℕ₀cn0 11139  ↑cexp 12677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-seq 12619  df-exp 12678

This theorem is referenced by:  expgt1  12715  leexp2r  12735  leexp1a  12736  resqcl  12748  bernneq  12807  bernneq3  12809  expnbnd  12810  expnlbnd  12811  expmulnbnd  12813  digit2  12814  digit1  12815  reexpcld  12842  faclbnd  12894  faclbnd2  12895  faclbnd3  12896  faclbnd4lem1  12897  faclbnd5  12902  faclbnd6  12903  geomulcvg  14392  reeftcl  14590  ege2le3  14605  eftlub  14624  eflegeo  14636  resin4p  14653  recos4p  14654  ef01bndlem  14699  sin01bnd  14700  cos01bnd  14701  sin01gt0  14705  rpnnen2lem2  14729  rpnnen2lem4  14731  rpnnen2lem11  14738  powm2modprm  15292  prmreclem6  15409  mbfi1fseqlem6  23210  aaliou3lem8  23821  radcnvlem1  23888  abelthlem5  23910  abelthlem7  23913  tangtx  23978  advlogexp  24118  logtayllem  24122  leibpilem2  24385  leibpi  24386  leibpisum  24387  basellem3  24526  chtublem  24653  logexprlim  24667  dchrisum0flblem1  24914  pntlem3  25015  ostth2lem1  25024  ostth2lem3  25041  ostth3  25044  numclwwlk5  26405  subfacval2  30229  nn0prpw  31294  mblfinlem1  32412  mblfinlem2  32413  bfplem1  32587  rpexpmord  36327  tgoldbach  40030  tgoldbachOLD  40037  dignn0fr  42188  digexp  42194  dig2bits  42201