MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reexpcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reexpcld 13515
Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
reexpcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
reexpcld (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld
StepHypRef Expression
1 reexpcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 reexpcld.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 reexpcl 13434 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  (class class class)co 7145  cr 10524  0cn0 11885  cexp 13417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13358  df-exp 13418
This theorem is referenced by:  expmordi  13519  faclbnd  13638  facubnd  13648  explecnv  15208  geomulcvg  15220  cvgrat  15227  efcllem  15419  eftlub  15450  bitsfzolem  15771  bitsfzo  15772  vfermltlALT  16127  pclem  16163  dvdsprmpweqle  16210  taylthlem2  24889  radcnvlem1  24928  abelthlem7  24953  advlogexp  25165  leibpi  25447  ftalem1  25577  ftalem2  25578  ftalem5  25581  vma1  25670  logexprlim  25728  bposlem6  25792  gausslemma2dlem6  25875  rplogsumlem2  25988  rpvmasumlem  25990  dchrisum0flblem1  26011  pntlem3  26112  ostth2lem1  26121  ostth2lem2  26137  ostth2lem3  26138  ostth3  26141  numclwwlk5  28094  nexple  31167  eulerpartlemgc  31519  signsply0  31720  knoppcnlem2  33730  knoppcnlem4  33732  knoppcnlem6  33734  knoppcnlem10  33738  knoppndvlem11  33758  knoppndvlem14  33761  knoppndvlem15  33762  knoppndvlem17  33764  knoppndvlem18  33765  knoppndvlem21  33768  geomcau  34915  bfplem1  34981  oexpreposd  39057  dffltz  39149  fltltc  39151  fltnltalem  39152  fltnlta  39153  negexpidd  39157  3cubeslem3r  39162  3cubeslem4  39164  jm2.17a  39435  jm2.17b  39436  jm2.17c  39437  jm3.1lem1  39492  jm3.1lem2  39493  xralrple4  41517  stoweidlem1  42163  stoweidlem3  42165  stoweidlem7  42169  stoweidlem12  42174  stoweidlem19  42181  stoweidlem24  42186  stoweidlem25  42187  stoweidlem40  42202  stoweidlem42  42204  stoweidlem45  42207  wallispilem1  42227  stirlinglem10  42245  stirlinglem11  42246  stirlingr  42252  etransclem23  42419  etransclem48  42444  sge0ad2en  42590  ovnsubaddlem1  42729  hoiqssbllem2  42782  lighneallem2  43648  fllog2  44556  nnolog2flm1  44578  dig2nn1st  44593  dignn0flhalflem2  44604  nn0sumshdiglemA  44607
  Copyright terms: Public domain W3C validator