MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reexpcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reexpcld 13065
Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
reexpcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
reexpcld (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld
StepHypRef Expression
1 reexpcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 reexpcld.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 reexpcl 12917 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 694 1 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  (class class class)co 6690  cr 9973  0cn0 11330  cexp 12900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901
This theorem is referenced by:  faclbnd  13117  facubnd  13127  explecnv  14641  geomulcvg  14651  cvgrat  14659  efcllem  14852  eftlub  14883  bitsfzolem  15203  bitsfzo  15204  vfermltlALT  15554  pclem  15590  dvdsprmpweqle  15637  taylthlem2  24173  radcnvlem1  24212  abelthlem7  24237  advlogexp  24446  leibpi  24714  ftalem1  24844  ftalem2  24845  ftalem5  24848  vma1  24937  logexprlim  24995  bposlem6  25059  gausslemma2dlem6  25142  rplogsumlem2  25219  rpvmasumlem  25221  dchrisum0flblem1  25242  pntlem3  25343  ostth2lem1  25352  ostth2lem2  25368  ostth2lem3  25369  ostth3  25372  numclwwlk5  27375  nexple  30199  eulerpartlemgc  30552  signsply0  30756  knoppcnlem2  32609  knoppcnlem4  32611  knoppcnlem6  32613  knoppcnlem10  32617  knoppndvlem11  32638  knoppndvlem14  32641  knoppndvlem15  32642  knoppndvlem17  32644  knoppndvlem18  32645  knoppndvlem21  32648  geomcau  33685  bfplem1  33751  expmordi  37829  jm2.17a  37844  jm2.17b  37845  jm2.17c  37846  jm3.1lem1  37901  jm3.1lem2  37902  xralrple4  39902  stoweidlem1  40536  stoweidlem3  40538  stoweidlem7  40542  stoweidlem12  40547  stoweidlem19  40554  stoweidlem24  40559  stoweidlem25  40560  stoweidlem40  40575  stoweidlem42  40577  stoweidlem45  40580  wallispilem1  40600  stirlinglem10  40618  stirlinglem11  40619  stirlingr  40625  etransclem23  40792  etransclem48  40817  sge0ad2en  40966  ovnsubaddlem1  41105  hoiqssbllem2  41158  lighneallem2  41848  fllog2  42687  nnolog2flm1  42709  dig2nn1st  42724  dignn0flhalflem2  42735  nn0sumshdiglemA  42738
  Copyright terms: Public domain W3C validator