MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reexpcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reexpcld 12842
Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
reexpcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
reexpcld (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld
StepHypRef Expression
1 reexpcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 reexpcld.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 reexpcl 12694 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 690 1 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  (class class class)co 6527  cr 9791  0cn0 11139  cexp 12677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-seq 12619  df-exp 12678
This theorem is referenced by:  faclbnd  12894  facubnd  12904  explecnv  14382  geomulcvg  14392  cvgrat  14400  efcllem  14593  eftlub  14624  bitsfzolem  14940  bitsfzo  14941  vfermltlALT  15291  pclem  15327  dvdsprmpweqle  15374  taylthlem2  23849  radcnvlem1  23888  abelthlem7  23913  advlogexp  24118  leibpi  24386  ftalem1  24516  ftalem2  24517  ftalem5  24520  vma1  24609  logexprlim  24667  bposlem6  24731  gausslemma2dlem6  24814  rplogsumlem2  24891  rpvmasumlem  24893  dchrisum0flblem1  24914  pntlem3  25015  ostth2lem1  25024  ostth2lem2  25040  ostth2lem3  25041  ostth3  25044  nexple  29205  eulerpartlemgc  29557  signsply0  29760  knoppcnlem2  31460  knoppcnlem4  31462  knoppcnlem6  31464  knoppcnlem10  31468  knoppndvlem11  31489  knoppndvlem14  31492  knoppndvlem15  31493  knoppndvlem17  31495  knoppndvlem18  31496  knoppndvlem21  31499  geomcau  32521  bfplem1  32587  expmordi  36326  jm2.17a  36341  jm2.17b  36342  jm2.17c  36343  jm3.1lem1  36398  jm3.1lem2  36399  xralrple4  38327  stoweidlem1  38691  stoweidlem3  38693  stoweidlem7  38697  stoweidlem12  38702  stoweidlem19  38709  stoweidlem24  38714  stoweidlem25  38715  stoweidlem40  38730  stoweidlem42  38732  stoweidlem45  38735  wallispilem1  38755  stirlinglem10  38773  stirlinglem11  38774  stirlingr  38780  etransclem23  38947  etransclem48  38972  sge0ad2en  39121  ovnsubaddlem1  39257  hoiqssbllem2  39310  lighneallem2  39859  av-numclwwlk5  41537  fllog2  42155  nnolog2flm1  42177  dig2nn1st  42192  dignn0flhalflem2  42203  nn0sumshdiglemA  42206
  Copyright terms: Public domain W3C validator