Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refdivmptf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem refdivmptf 41625
Description: The quotient of two functions into the real numbers is a function into the real numbers. (Contributed by AV, 16-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
refdivmptf ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)

Proof of Theorem refdivmptf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1062 . . . . 5 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2 suppssdm 7253 . . . . . . . 8 (𝐺 supp 0) ⊆ dom 𝐺
3 fdm 6008 . . . . . . . 8 (𝐺:𝐴⟶ℝ → dom 𝐺 = 𝐴)
42, 3syl5sseq 3632 . . . . . . 7 (𝐺:𝐴⟶ℝ → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
543ad2ant2 1081 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
65sselda 3583 . . . . 5 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝑥𝐴)
71, 6ffvelrnd 6316 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
8 simpl2 1063 . . . . 5 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
98, 6ffvelrnd 6316 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
10 ffn 6002 . . . . . . 7 (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝐴)
11103ad2ant2 1081 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐺 Fn 𝐴)
12 simp3 1061 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐴𝑉)
13 0red 9985 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → 0 ∈ ℝ)
14 elsuppfn 7248 . . . . . 6 ((𝐺 Fn 𝐴𝐴𝑉 ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0)))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0)))
1615simplbda 653 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐺𝑥) ≠ 0)
177, 9, 16redivcld 10797 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
18 eqid 2621 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)))
1917, 18fmptd 6340 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)
20 id 22 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
21 ax-resscn 9937 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
2320, 22fssd 6014 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
24 id 22 . . . . . 6 (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
2521a1i 11 . . . . . 6 (𝐺:𝐴⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
2624, 25fssd 6014 . . . . 5 (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
27 id 22 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐴𝑉)
2823, 26, 273anim123i 1245 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉))
29 fdivmpt 41623 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
3028, 29syl 17 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
3130feq1d 5987 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))):(𝐺 supp 0)⟶ℝ))
3219, 31mpbird 247 1 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wss 3555  cmpt 4673  dom cdm 5074   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604   supp csupp 7240  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880   / cdiv 10628   /f cfdiv 41620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-supp 7241  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-fdiv 41621
This theorem is referenced by:  refdivpm  41627  elbigolo1  41640
  Copyright terms: Public domain W3C validator