Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refdivmptfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem refdivmptfv 42868
Description: The function value of a quotient of two functions into the real numbers. (Contributed by AV, 19-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
refdivmptfv (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹𝑋) / (𝐺𝑋)))

Proof of Theorem refdivmptfv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2 ax-resscn 10205 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
32a1i 11 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
41, 3fssd 6218 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5 id 22 . . . . . 6 (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
62a1i 11 . . . . . 6 (𝐺:𝐴⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
75, 6fssd 6218 . . . . 5 (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
8 id 22 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐴𝑉)
94, 7, 83anim123i 1155 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉))
10 fdivmpt 42862 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
119, 10syl 17 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
1211adantr 472 . 2 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
13 fveq2 6353 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑋))
14 fveq2 6353 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑋))
1513, 14oveq12d 6832 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑋) / (𝐺𝑋)))
1615adantl 473 . 2 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑋) / (𝐺𝑋)))
17 simpr 479 . 2 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0))
18 ovexd 6844 . 2 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹𝑋) / (𝐺𝑋)) ∈ V)
1912, 16, 17, 18fvmptd 6451 1 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹𝑋) / (𝐺𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  wss 3715  cmpt 4881  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814   supp csupp 7464  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148   / cdiv 10896   /f cfdiv 42859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-supp 7465  df-fdiv 42860
This theorem is referenced by:  elbigolo1  42879
  Copyright terms: Public domain W3C validator