Theorem refdivmptfv 42868

Description: The function value of a quotient of two functions into the real numbers. (Contributed by AV, 19-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
refdivmptfv	⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)))

Proof of Theorem refdivmptfv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2		ax-resscn 10205	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
4	1, 3	fssd 6218	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
6	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
7	5, 6	fssd 6218	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
8		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9	4, 7, 8	3anim123i 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
10		fdivmpt 42862	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
12	11	adantr 472	. 2 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
13		fveq2 6353	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
14		fveq2 6353	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑋))
15	13, 14	oveq12d 6832	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)))
16	15	adantl 473	. 2 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)))
17		simpr 479	. 2 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0))
18		ovexd 6844	. 2 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) ∈ V)
19	12, 16, 17, 18	fvmptd 6451	1 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715   ↦ cmpt 4881  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   supp csupp 7464  ℂcc 10146  ℝcr 10147  0cc0 10148   / cdiv 10896   /_f cfdiv 42859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-supp 7465  df-fdiv 42860

This theorem is referenced by:  elbigolo1  42879