Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refdivmptfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem refdivmptfv 42133
Description: The function value of a quotient of two functions into the real numbers. (Contributed by AV, 19-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
refdivmptfv (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹𝑋) / (𝐺𝑋)))

Proof of Theorem refdivmptfv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2 ax-resscn 9849 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
32a1i 11 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
41, 3fssd 5956 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5 id 22 . . . . . 6 (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
62a1i 11 . . . . . 6 (𝐺:𝐴⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
75, 6fssd 5956 . . . . 5 (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
8 id 22 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐴𝑉)
94, 7, 83anim123i 1239 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉))
10 fdivmpt 42127 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
119, 10syl 17 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
1211adantr 479 . 2 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
13 fveq2 6088 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑋))
14 fveq2 6088 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑋))
1513, 14oveq12d 6545 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑋) / (𝐺𝑋)))
1615adantl 480 . 2 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑋) / (𝐺𝑋)))
17 simpr 475 . 2 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0))
18 ovex 6555 . . 3 ((𝐹𝑋) / (𝐺𝑋)) ∈ V
1918a1i 11 . 2 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹𝑋) / (𝐺𝑋)) ∈ V)
2012, 16, 17, 19fvmptd 6182 1 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹𝑋) / (𝐺𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  wss 3539  cmpt 4637  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527   supp csupp 7159  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792   / cdiv 10533   /f cfdiv 42124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-supp 7160  df-fdiv 42125
This theorem is referenced by:  elbigolo1  42144
  Copyright terms: Public domain W3C validator