Theorem reflcl 13169

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13168	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12090	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  ℝcr 10538  ⌊cfl 13163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fl 13165

This theorem is referenced by:  fllep1  13174  fraclt1  13175  fracle1  13176  fracge0  13177  fllt  13179  flflp1  13180  flid  13181  flltnz  13184  flval3  13188  refldivcl  13196  fladdz  13198  flzadd  13199  flmulnn0  13200  flltdivnn0lt  13206  ceige  13216  ceim1l  13218  flleceil  13224  fleqceilz  13225  intfracq  13230  fldiv  13231  uzsup  13234  modvalr  13243  modfrac  13255  flmod  13256  intfrac  13257  modmulnn  13260  modcyc  13277  modadd1  13279  moddi  13310  modirr  13313  digit2  13600  digit1  13601  facavg  13664  rddif  14702  absrdbnd  14703  rexuzre  14714  o1fsum  15170  flo1  15211  isprm7  16054  opnmbllem  24204  mbfi1fseqlem1  24318  mbfi1fseqlem3  24320  mbfi1fseqlem4  24321  mbfi1fseqlem5  24322  mbfi1fseqlem6  24323  dvfsumlem1  24625  dvfsumlem2  24626  dvfsumlem3  24627  dvfsumlem4  24628  dvfsum2  24633  harmonicbnd4  25590  chtfl  25728  chpfl  25729  ppieq0  25755  ppiltx  25756  ppiub  25782  chpeq0  25786  chtub  25790  logfac2  25795  chpub  25798  logfacubnd  25799  logfaclbnd  25800  lgsquadlem1  25958  chtppilimlem1  26051  vmadivsum  26060  dchrisumlema  26066  dchrisumlem1  26067  dchrisumlem3  26069  dchrmusum2  26072  dchrisum0lem1b  26093  dchrisum0lem1  26094  dchrisum0lem2a  26095  dchrisum0lem3  26097  mudivsum  26108  mulogsumlem  26109  selberglem2  26124  pntrlog2bndlem6  26161  pntpbnd2  26165  pntlemg  26176  pntlemr  26180  pntlemj  26181  pntlemf  26183  pntlemk  26184  minvecolem4  28659  dnicld1  33813  dnibndlem2  33820  dnibndlem3  33821  dnibndlem4  33822  dnibndlem5  33823  dnibndlem7  33825  dnibndlem8  33826  dnibndlem9  33827  dnibndlem10  33828  dnibndlem11  33829  dnibndlem13  33831  dnibnd  33832  knoppcnlem4  33837  ltflcei  34882  leceifl  34883  opnmbllem0  34930  itg2addnclem2  34946  itg2addnclem3  34947  hashnzfzclim  40661  lefldiveq  41566  fourierdlem4  42403  fourierdlem26  42425  fourierdlem47  42445  fourierdlem65  42463  flsubz  44584  dignn0flhalflem2  44683