Theorem reflcl 12534

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 12533	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 11426	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1992  ‘cfv 5850  ℝcr 9880  ⌊cfl 12528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fl 12530

This theorem is referenced by:  fllep1  12539  fraclt1  12540  fracle1  12541  fracge0  12542  fllt  12544  flflp1  12545  flid  12546  flltnz  12549  flval3  12553  refldivcl  12561  fladdz  12563  flzadd  12564  flmulnn0  12565  flltdivnn0lt  12571  ceige  12581  ceim1l  12583  flleceil  12589  fleqceilz  12590  intfracq  12595  fldiv  12596  uzsup  12599  modvalr  12608  modfrac  12620  flmod  12621  intfrac  12622  modmulnn  12625  modcyc  12642  modadd1  12644  moddi  12675  modirr  12678  digit2  12934  digit1  12935  facavg  13025  rddif  14009  absrdbnd  14010  rexuzre  14021  o1fsum  14467  flo1  14506  isprm7  15339  opnmbllem  23270  mbfi1fseqlem1  23383  mbfi1fseqlem3  23385  mbfi1fseqlem4  23386  mbfi1fseqlem5  23387  mbfi1fseqlem6  23388  dvfsumlem1  23688  dvfsumlem2  23689  dvfsumlem3  23690  dvfsumlem4  23691  dvfsum2  23696  harmonicbnd4  24632  chtfl  24770  chpfl  24771  ppieq0  24797  ppiltx  24798  ppiub  24824  chpeq0  24828  chtub  24832  logfac2  24837  chpub  24840  logfacubnd  24841  logfaclbnd  24842  lgsquadlem1  25000  chtppilimlem1  25057  vmadivsum  25066  dchrisumlema  25072  dchrisumlem1  25073  dchrisumlem3  25075  dchrmusum2  25078  dchrisum0lem1b  25099  dchrisum0lem1  25100  dchrisum0lem2a  25101  dchrisum0lem3  25103  mudivsum  25114  mulogsumlem  25115  selberglem2  25130  pntrlog2bndlem6  25167  pntpbnd2  25171  pntlemg  25182  pntlemr  25186  pntlemj  25187  pntlemf  25189  pntlemk  25190  minvecolem4  27576  dnicld1  32096  dnibndlem2  32103  dnibndlem3  32104  dnibndlem4  32105  dnibndlem5  32106  dnibndlem7  32108  dnibndlem8  32109  dnibndlem9  32110  dnibndlem10  32111  dnibndlem11  32112  dnibndlem13  32114  dnibnd  32115  knoppcnlem4  32120  ltflcei  33015  leceifl  33016  opnmbllem0  33063  itg2addnclem2  33080  itg2addnclem3  33081  hashnzfzclim  37989  lefldiveq  38956  fourierdlem4  39622  fourierdlem26  39644  fourierdlem47  39664  fourierdlem65  39682  flsubz  41574  dignn0flhalflem2  41676