Theorem reflcl 12791

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 12790	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 11674	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  ℝcr 10127  ⌊cfl 12785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fl 12787

This theorem is referenced by:  fllep1  12796  fraclt1  12797  fracle1  12798  fracge0  12799  fllt  12801  flflp1  12802  flid  12803  flltnz  12806  flval3  12810  refldivcl  12818  fladdz  12820  flzadd  12821  flmulnn0  12822  flltdivnn0lt  12828  ceige  12838  ceim1l  12840  flleceil  12846  fleqceilz  12847  intfracq  12852  fldiv  12853  uzsup  12856  modvalr  12865  modfrac  12877  flmod  12878  intfrac  12879  modmulnn  12882  modcyc  12899  modadd1  12901  moddi  12932  modirr  12935  digit2  13191  digit1  13192  facavg  13282  rddif  14279  absrdbnd  14280  rexuzre  14291  o1fsum  14744  flo1  14785  isprm7  15622  opnmbllem  23569  mbfi1fseqlem1  23681  mbfi1fseqlem3  23683  mbfi1fseqlem4  23684  mbfi1fseqlem5  23685  mbfi1fseqlem6  23686  dvfsumlem1  23988  dvfsumlem2  23989  dvfsumlem3  23990  dvfsumlem4  23991  dvfsum2  23996  harmonicbnd4  24936  chtfl  25074  chpfl  25075  ppieq0  25101  ppiltx  25102  ppiub  25128  chpeq0  25132  chtub  25136  logfac2  25141  chpub  25144  logfacubnd  25145  logfaclbnd  25146  lgsquadlem1  25304  chtppilimlem1  25361  vmadivsum  25370  dchrisumlema  25376  dchrisumlem1  25377  dchrisumlem3  25379  dchrmusum2  25382  dchrisum0lem1b  25403  dchrisum0lem1  25404  dchrisum0lem2a  25405  dchrisum0lem3  25407  mudivsum  25418  mulogsumlem  25419  selberglem2  25434  pntrlog2bndlem6  25471  pntpbnd2  25475  pntlemg  25486  pntlemr  25490  pntlemj  25491  pntlemf  25493  pntlemk  25494  minvecolem4  28045  dnicld1  32768  dnibndlem2  32775  dnibndlem3  32776  dnibndlem4  32777  dnibndlem5  32778  dnibndlem7  32780  dnibndlem8  32781  dnibndlem9  32782  dnibndlem10  32783  dnibndlem11  32784  dnibndlem13  32786  dnibnd  32787  knoppcnlem4  32792  ltflcei  33710  leceifl  33711  opnmbllem0  33758  itg2addnclem2  33775  itg2addnclem3  33776  hashnzfzclim  39023  lefldiveq  40004  fourierdlem4  40831  fourierdlem26  40853  fourierdlem47  40873  fourierdlem65  40891  flsubz  42822  dignn0flhalflem2  42920