Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refsum2cnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem refsum2cnlem1 39693
Description: This is the core Lemma for refsum2cn 39694: the sum of two continuous real functions (from a common topological space) is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
refsum2cnlem1.1 𝑥𝐴
refsum2cnlem1.2 𝑥𝐹
refsum2cnlem1.3 𝑥𝐺
refsum2cnlem1.4 𝑥𝜑
refsum2cnlem1.5 𝐴 = (𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
refsum2cnlem1.6 𝐾 = (topGen‘ran (,))
refsum2cnlem1.7 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
refsum2cnlem1.8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
refsum2cnlem1.9 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
refsum2cnlem1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐽   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem refsum2cnlem1
StepHypRef Expression
1 refsum2cnlem1.4 . . 3 𝑥𝜑
2 refsum2cnlem1.5 . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
3 nfmpt1 4897 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
42, 3nfcxfr 2898 . . . . . . . 8 𝑘𝐴
5 nfcv 2900 . . . . . . . 8 𝑘1
64, 5nffv 6357 . . . . . . 7 𝑘(𝐴‘1)
7 nfcv 2900 . . . . . . 7 𝑘𝑥
86, 7nffv 6357 . . . . . 6 𝑘((𝐴‘1)‘𝑥)
98a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑘((𝐴‘1)‘𝑥))
10 nfcv 2900 . . . . . . . 8 𝑘2
114, 10nffv 6357 . . . . . . 7 𝑘(𝐴‘2)
1211, 7nffv 6357 . . . . . 6 𝑘((𝐴‘2)‘𝑥)
1312a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑘((𝐴‘2)‘𝑥))
14 1cnd 10246 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 1 ∈ ℂ)
15 2cnd 11283 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 2 ∈ ℂ)
16 1ex 10225 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
1716prid1 4439 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {1, 2}
18 refsum2cnlem1.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
19 refsum2cnlem1.9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2018, 19ifcld 4273 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(1 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
21 eqeq1 2762 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (𝑘 = 1 ↔ 1 = 1))
2221ifbid 4250 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = if(1 = 1, 𝐹, 𝐺))
2322, 2fvmptg 6440 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ {1, 2} ∧ if(1 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐴‘1) = if(1 = 1, 𝐹, 𝐺))
2417, 20, 23sylancr 698 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴‘1) = if(1 = 1, 𝐹, 𝐺))
25 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 1 = 1
2625iftruei 4235 . . . . . . . . 9 if(1 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐹
2724, 26syl6eq 2808 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴‘1) = 𝐹)
2827adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴‘1) = 𝐹)
2928fveq1d 6352 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐴‘1)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
30 eqid 2758 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = 𝐽
31 eqid 2758 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = 𝐾
3230, 31cnf 21250 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
3318, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹: 𝐽 𝐾)
34 refsum2cnlem1.7 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
35 toponuni 20919 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 = 𝐽)
3736eqcomd 2764 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝐽 = 𝑋)
38 refsum2cnlem1.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3938unieqi 4595 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (topGen‘ran (,))
40 uniretop 22765 . . . . . . . . . . . 12 ℝ = (topGen‘ran (,))
4139, 40eqtr4i 2783 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = ℝ
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝐾 = ℝ)
4337, 42feq23d 6199 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹: 𝐽 𝐾𝐹:𝑋⟶ℝ))
4433, 43mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
4544anim1i 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥𝑋))
46 ffvelrn 6518 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
47 recn 10216 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4845, 46, 473syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4929, 48eqeltrd 2837 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐴‘1)‘𝑥) ∈ ℂ)
50 2ex 11282 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ V
5150prid2 4440 . . . . . . . . . 10 2 ∈ {1, 2}
5218, 19ifcld 4273 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(2 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
53 eqeq1 2762 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → (𝑘 = 1 ↔ 2 = 1))
5453ifbid 4250 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = if(2 = 1, 𝐹, 𝐺))
5554, 2fvmptg 6440 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ {1, 2} ∧ if(2 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐴‘2) = if(2 = 1, 𝐹, 𝐺))
5651, 52, 55sylancr 698 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴‘2) = if(2 = 1, 𝐹, 𝐺))
57 1ne2 11430 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 2
5857nesymi 2987 . . . . . . . . . 10 ¬ 2 = 1
5958iffalsei 4238 . . . . . . . . 9 if(2 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐺
6056, 59syl6eq 2808 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴‘2) = 𝐺)
6160adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴‘2) = 𝐺)
6261fveq1d 6352 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐴‘2)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
6330, 31cnf 21250 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐺: 𝐽 𝐾)
6419, 63syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺: 𝐽 𝐾)
6537, 42feq23d 6199 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺: 𝐽 𝐾𝐺:𝑋⟶ℝ))
6664, 65mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℝ)
6766anim1i 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥𝑋))
68 ffvelrn 6518 . . . . . . 7 ((𝐺:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
69 recn 10216 . . . . . . 7 ((𝐺𝑥) ∈ ℝ → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
7067, 68, 693syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
7162, 70eqeltrd 2837 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐴‘2)‘𝑥) ∈ ℂ)
7257a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 1 ≠ 2)
73 fveq2 6350 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝐴𝑘) = (𝐴‘1))
7473fveq1d 6352 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘1)‘𝑥))
7574adantl 473 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘1)‘𝑥))
76 fveq2 6350 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (𝐴𝑘) = (𝐴‘2))
7776fveq1d 6352 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘2)‘𝑥))
7877adantl 473 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘2)‘𝑥))
799, 13, 14, 15, 49, 71, 72, 75, 78sumpair 39691 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (((𝐴‘1)‘𝑥) + ((𝐴‘2)‘𝑥)))
8029, 62oveq12d 6829 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐴‘1)‘𝑥) + ((𝐴‘2)‘𝑥)) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))
8179, 80eqtrd 2792 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴𝑘)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))
821, 81mpteq2da 4893 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))))
83 prfi 8398 . . . 4 {1, 2} ∈ Fin
8483a1i 11 . . 3 (𝜑 → {1, 2} ∈ Fin)
85 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 𝑋 = 𝑋
8685ax-gen 1869 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑋 = 𝑋
87 refsum2cnlem1.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴
88 nfcv 2900 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑘
8987, 88nffv 6357 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝐴𝑘)
90 refsum2cnlem1.2 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐹
9189, 90nfeq 2912 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝐴𝑘) = 𝐹
92 fveq1 6349 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑘) = 𝐹 → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
9392a1d 25 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑘) = 𝐹 → (𝑥𝑋 → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐹𝑥)))
9491, 93ralrimi 3093 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑘) = 𝐹 → ∀𝑥𝑋 ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
95 mpteq12f 4881 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 𝑋 = 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐹𝑥)) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
9686, 94, 95sylancr 698 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑘) = 𝐹 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
9796adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐹) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
98 retopon 22766 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
9938, 98eqeltri 2833 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
10099a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
101 cnf2 21253 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
10234, 100, 18, 101syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
103 ffn 6204 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑋⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑋)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
10590dffn5f 6412 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝑋𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
106104, 105sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
107106adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐹) → 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
10897, 107eqtr4d 2795 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐹) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = 𝐹)
10918adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐹) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
110108, 109eqeltrd 2837 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐹) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
111110adantlr 753 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ (𝐴𝑘) = 𝐹) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
112 refsum2cnlem1.3 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐺
11389, 112nfeq 2912 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝐴𝑘) = 𝐺
114 fveq1 6349 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑘) = 𝐺 → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
115114a1d 25 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑘) = 𝐺 → (𝑥𝑋 → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐺𝑥)))
116113, 115ralrimi 3093 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑘) = 𝐺 → ∀𝑥𝑋 ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
117 mpteq12f 4881 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 𝑋 = 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐺𝑥)) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
11886, 116, 117sylancr 698 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑘) = 𝐺 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
119118adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐺) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
120 cnf2 21253 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐺:𝑋⟶ℝ)
12134, 100, 19, 120syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℝ)
122 ffn 6204 . . . . . . . . . 10 (𝐺:𝑋⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝑋)
123121, 122syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 Fn 𝑋)
124112dffn5f 6412 . . . . . . . . 9 (𝐺 Fn 𝑋𝐺 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
125123, 124sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
126125adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐺) → 𝐺 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
127119, 126eqtr4d 2795 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐺) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = 𝐺)
12819adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐺) → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
129127, 128eqeltrd 2837 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐺) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
130129adantlr 753 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ (𝐴𝑘) = 𝐺) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
131 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) → 𝑘 ∈ {1, 2})
13218, 19ifcld 4273 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
133132adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
1342fvmpt2 6451 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ {1, 2} ∧ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐴𝑘) = if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
135131, 133, 134syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝐴𝑘) = if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
136 iftrue 4234 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐹)
137135, 136sylan9eq 2812 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 1) → (𝐴𝑘) = 𝐹)
138137orcd 406 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝐴𝑘) = 𝐹 ∨ (𝐴𝑘) = 𝐺))
139135adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → (𝐴𝑘) = if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
140 neeq2 2993 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → (1 ≠ 𝑘 ↔ 1 ≠ 2))
14157, 140mpbiri 248 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → 1 ≠ 𝑘)
142141necomd 2985 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 2 → 𝑘 ≠ 1)
143142neneqd 2935 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 2 → ¬ 𝑘 = 1)
144143adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → ¬ 𝑘 = 1)
145144iffalsed 4239 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐺)
146139, 145eqtrd 2792 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → (𝐴𝑘) = 𝐺)
147146olcd 407 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝐴𝑘) = 𝐹 ∨ (𝐴𝑘) = 𝐺))
148 elpri 4340 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {1, 2} → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2))
149148adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2))
150138, 147, 149mpjaodan 862 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) → ((𝐴𝑘) = 𝐹 ∨ (𝐴𝑘) = 𝐺))
151111, 130, 150mpjaodan 862 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
1521, 38, 34, 84, 151refsumcn 39686 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
15382, 152eqeltrrd 2838 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383  wal 1628   = wceq 1630  wnf 1855  wcel 2137  wnfc 2887  wne 2930  wral 3048  ifcif 4228  {cpr 4321   cuni 4586  cmpt 4879  ran crn 5265   Fn wfn 6042  wf 6043  cfv 6047  (class class class)co 6811  Fincfn 8119  cc 10124  cr 10125  1c1 10127   + caddc 10129  2c2 11260  (,)cioo 12366  Σcsu 14613  topGenctg 16298  TopOnctopon 20915   Cn ccn 21228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204  ax-addf 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-supp 7462  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-2o 7728  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-ixp 8073  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-fsupp 8439  df-fi 8480  df-sup 8511  df-inf 8512  df-oi 8578  df-card 8953  df-cda 9180  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-xneg 12137  df-xadd 12138  df-xmul 12139  df-ioo 12370  df-icc 12373  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-seq 12994  df-exp 13053  df-hash 13310  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-clim 14416  df-sum 14614  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-starv 16156  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-ip 16159  df-tset 16160  df-ple 16161  df-ds 16164  df-unif 16165  df-hom 16166  df-cco 16167  df-rest 16283  df-topn 16284  df-0g 16302  df-gsum 16303  df-topgen 16304  df-pt 16305  df-prds 16308  df-xrs 16362  df-qtop 16367  df-imas 16368  df-xps 16370  df-mre 16446  df-mrc 16447  df-acs 16449  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-mulg 17740  df-cntz 17948  df-cmn 18393  df-psmet 19938  df-xmet 19939  df-met 19940  df-bl 19941  df-mopn 19942  df-cnfld 19947  df-top 20899  df-topon 20916  df-topsp 20937  df-bases 20950  df-cn 21231  df-cnp 21232  df-tx 21565  df-hmeo 21758  df-xms 22324  df-ms 22325  df-tms 22326
This theorem is referenced by:  refsum2cn  39694
  Copyright terms: Public domain W3C validator