Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refsum2cnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem refsum2cnlem1 38676
Description: This is the core Lemma for refsum2cn 38677: the sum of two continuous real functions (from a common topological space) is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
refsum2cnlem1.1 𝑥𝐴
refsum2cnlem1.2 𝑥𝐹
refsum2cnlem1.3 𝑥𝐺
refsum2cnlem1.4 𝑥𝜑
refsum2cnlem1.5 𝐴 = (𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
refsum2cnlem1.6 𝐾 = (topGen‘ran (,))
refsum2cnlem1.7 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
refsum2cnlem1.8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
refsum2cnlem1.9 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
refsum2cnlem1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐽   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem refsum2cnlem1
StepHypRef Expression
1 refsum2cnlem1.4 . . 3 𝑥𝜑
2 refsum2cnlem1.5 . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
3 nfmpt1 4707 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
42, 3nfcxfr 2759 . . . . . . . 8 𝑘𝐴
5 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑘1
64, 5nffv 6155 . . . . . . 7 𝑘(𝐴‘1)
7 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑘𝑥
86, 7nffv 6155 . . . . . 6 𝑘((𝐴‘1)‘𝑥)
98a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑘((𝐴‘1)‘𝑥))
10 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑘2
114, 10nffv 6155 . . . . . . 7 𝑘(𝐴‘2)
1211, 7nffv 6155 . . . . . 6 𝑘((𝐴‘2)‘𝑥)
1312a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑘((𝐴‘2)‘𝑥))
14 1cnd 10000 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 1 ∈ ℂ)
15 2cnd 11037 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 2 ∈ ℂ)
16 1ex 9979 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
1716prid1 4267 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {1, 2}
18 refsum2cnlem1.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
19 refsum2cnlem1.9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2018, 19ifcld 4103 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(1 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
21 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (𝑘 = 1 ↔ 1 = 1))
2221ifbid 4080 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = if(1 = 1, 𝐹, 𝐺))
2322, 2fvmptg 6237 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ {1, 2} ∧ if(1 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐴‘1) = if(1 = 1, 𝐹, 𝐺))
2417, 20, 23sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴‘1) = if(1 = 1, 𝐹, 𝐺))
25 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 1 = 1
2625iftruei 4065 . . . . . . . . 9 if(1 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐹
2724, 26syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴‘1) = 𝐹)
2827adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴‘1) = 𝐹)
2928fveq1d 6150 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐴‘1)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
30 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = 𝐽
31 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = 𝐾
3230, 31cnf 20960 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
3318, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹: 𝐽 𝐾)
34 refsum2cnlem1.7 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
35 toponuni 20642 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 = 𝐽)
3736eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝐽 = 𝑋)
38 refsum2cnlem1.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3938unieqi 4411 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (topGen‘ran (,))
40 uniretop 22476 . . . . . . . . . . . 12 ℝ = (topGen‘ran (,))
4139, 40eqtr4i 2646 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = ℝ
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝐾 = ℝ)
4337, 42feq23d 5997 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹: 𝐽 𝐾𝐹:𝑋⟶ℝ))
4433, 43mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
4544anim1i 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥𝑋))
46 ffvelrn 6313 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
47 recn 9970 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4845, 46, 473syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4929, 48eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐴‘1)‘𝑥) ∈ ℂ)
50 2ex 11036 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ V
5150prid2 4268 . . . . . . . . . 10 2 ∈ {1, 2}
5218, 19ifcld 4103 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(2 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
53 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → (𝑘 = 1 ↔ 2 = 1))
5453ifbid 4080 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = if(2 = 1, 𝐹, 𝐺))
5554, 2fvmptg 6237 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ {1, 2} ∧ if(2 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐴‘2) = if(2 = 1, 𝐹, 𝐺))
5651, 52, 55sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴‘2) = if(2 = 1, 𝐹, 𝐺))
57 1ne2 11184 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 2
5857nesymi 2847 . . . . . . . . . 10 ¬ 2 = 1
5958iffalsei 4068 . . . . . . . . 9 if(2 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐺
6056, 59syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴‘2) = 𝐺)
6160adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴‘2) = 𝐺)
6261fveq1d 6150 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐴‘2)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
6330, 31cnf 20960 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐺: 𝐽 𝐾)
6419, 63syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺: 𝐽 𝐾)
6537, 42feq23d 5997 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺: 𝐽 𝐾𝐺:𝑋⟶ℝ))
6664, 65mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℝ)
6766anim1i 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥𝑋))
68 ffvelrn 6313 . . . . . . 7 ((𝐺:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
69 recn 9970 . . . . . . 7 ((𝐺𝑥) ∈ ℝ → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
7067, 68, 693syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
7162, 70eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐴‘2)‘𝑥) ∈ ℂ)
7257a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 1 ≠ 2)
73 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝐴𝑘) = (𝐴‘1))
7473fveq1d 6150 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘1)‘𝑥))
7574adantl 482 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘1)‘𝑥))
76 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (𝐴𝑘) = (𝐴‘2))
7776fveq1d 6150 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘2)‘𝑥))
7877adantl 482 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘2)‘𝑥))
799, 13, 14, 15, 49, 71, 72, 75, 78sumpair 38674 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (((𝐴‘1)‘𝑥) + ((𝐴‘2)‘𝑥)))
8029, 62oveq12d 6622 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐴‘1)‘𝑥) + ((𝐴‘2)‘𝑥)) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))
8179, 80eqtrd 2655 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴𝑘)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))
821, 81mpteq2da 4703 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))))
83 prfi 8179 . . . 4 {1, 2} ∈ Fin
8483a1i 11 . . 3 (𝜑 → {1, 2} ∈ Fin)
85 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 𝑋 = 𝑋
8685ax-gen 1719 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑋 = 𝑋
87 refsum2cnlem1.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴
88 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑘
8987, 88nffv 6155 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝐴𝑘)
90 refsum2cnlem1.2 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐹
9189, 90nfeq 2772 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝐴𝑘) = 𝐹
92 fveq1 6147 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑘) = 𝐹 → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
9392a1d 25 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑘) = 𝐹 → (𝑥𝑋 → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐹𝑥)))
9491, 93ralrimi 2951 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑘) = 𝐹 → ∀𝑥𝑋 ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
95 mpteq12f 4691 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 𝑋 = 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐹𝑥)) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
9686, 94, 95sylancr 694 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑘) = 𝐹 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
9796adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐹) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
98 retopon 22477 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
9938, 98eqeltri 2694 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
10099a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
101 cnf2 20963 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
10234, 100, 18, 101syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
103 ffn 6002 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑋⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑋)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
10590dffn5f 6209 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝑋𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
106104, 105sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
107106adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐹) → 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
10897, 107eqtr4d 2658 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐹) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = 𝐹)
10918adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐹) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
110108, 109eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐹) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
111110adantlr 750 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ (𝐴𝑘) = 𝐹) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
112 refsum2cnlem1.3 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐺
11389, 112nfeq 2772 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝐴𝑘) = 𝐺
114 fveq1 6147 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑘) = 𝐺 → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
115114a1d 25 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑘) = 𝐺 → (𝑥𝑋 → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐺𝑥)))
116113, 115ralrimi 2951 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑘) = 𝐺 → ∀𝑥𝑋 ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
117 mpteq12f 4691 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 𝑋 = 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐺𝑥)) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
11886, 116, 117sylancr 694 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑘) = 𝐺 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
119118adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐺) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
120 cnf2 20963 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐺:𝑋⟶ℝ)
12134, 100, 19, 120syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℝ)
122 ffn 6002 . . . . . . . . . 10 (𝐺:𝑋⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝑋)
123121, 122syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 Fn 𝑋)
124112dffn5f 6209 . . . . . . . . 9 (𝐺 Fn 𝑋𝐺 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
125123, 124sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
126125adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐺) → 𝐺 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
127119, 126eqtr4d 2658 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐺) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = 𝐺)
12819adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐺) → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
129127, 128eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐺) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
130129adantlr 750 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ (𝐴𝑘) = 𝐺) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
131 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) → 𝑘 ∈ {1, 2})
13218, 19ifcld 4103 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
133132adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
1342fvmpt2 6248 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ {1, 2} ∧ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐴𝑘) = if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
135131, 133, 134syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝐴𝑘) = if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
136 iftrue 4064 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐹)
137135, 136sylan9eq 2675 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 1) → (𝐴𝑘) = 𝐹)
138137orcd 407 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝐴𝑘) = 𝐹 ∨ (𝐴𝑘) = 𝐺))
139135adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → (𝐴𝑘) = if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
140 neeq2 2853 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → (1 ≠ 𝑘 ↔ 1 ≠ 2))
14157, 140mpbiri 248 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → 1 ≠ 𝑘)
142141necomd 2845 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 2 → 𝑘 ≠ 1)
143142neneqd 2795 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 2 → ¬ 𝑘 = 1)
144143adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → ¬ 𝑘 = 1)
145144iffalsed 4069 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐺)
146139, 145eqtrd 2655 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → (𝐴𝑘) = 𝐺)
147146olcd 408 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝐴𝑘) = 𝐹 ∨ (𝐴𝑘) = 𝐺))
148 elpri 4168 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {1, 2} → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2))
149148adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2))
150138, 147, 149mpjaodan 826 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) → ((𝐴𝑘) = 𝐹 ∨ (𝐴𝑘) = 𝐺))
151111, 130, 150mpjaodan 826 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
1521, 38, 34, 84, 151refsumcn 38669 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
15382, 152eqeltrrd 2699 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384  wal 1478   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wnfc 2748  wne 2790  wral 2907  ifcif 4058  {cpr 4150   cuni 4402  cmpt 4673  ran crn 5075   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  cc 9878  cr 9879  1c1 9881   + caddc 9883  2c2 11014  (,)cioo 12117  Σcsu 14350  topGenctg 16019  TopOnctopon 20618   Cn ccn 20938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037
This theorem is referenced by:  refsum2cn  38677
  Copyright terms: Public domain W3C validator