Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refsumcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem refsumcn 39503
Description: A finite sum of continuous real functions, from a common topological space, is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. See fsumcn 22720 for the analogous theorem on continuous complex functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
refsumcn.1 𝑥𝜑
refsumcn.2 𝐾 = (topGen‘ran (,))
refsumcn.3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
refsumcn.4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
refsumcn.5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
refsumcn (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem refsumcn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2 refsumcn.3 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 refsumcn.4 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4 refsumcn.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5 refsumcn.2 . . . . . . . 8 𝐾 = (topGen‘ran (,))
61tgioo2 22653 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
75, 6eqtri 2673 . . . . . . 7 𝐾 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
87oveq2i 6701 . . . . . 6 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
94, 8syl6eleq 2740 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
101cnfldtopon 22633 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
122adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
13 retopon 22614 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
145, 13eqeltri 2726 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
1514a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
16 cnf2 21101 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
1712, 15, 4, 16syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
18 frn 6091 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ → ran (𝑥𝑋𝐵) ⊆ ℝ)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ran (𝑥𝑋𝐵) ⊆ ℝ)
20 ax-resscn 10031 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
2120a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ℝ ⊆ ℂ)
22 cnrest2 21138 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥𝑋𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
2311, 19, 21, 22syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
249, 23mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
251, 2, 3, 24fsumcnf 39494 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2610a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
27 refsumcn.1 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝜑
283adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ Fin)
29 simpll 805 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝜑)
30 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘𝐴)
3129, 30jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → (𝜑𝑘𝐴))
32 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑥𝑋)
33 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝐵)
3433fmpt 6421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
3517, 34sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℝ)
36 rsp 2958 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥𝑋𝐵 ∈ ℝ))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵 ∈ ℝ))
3831, 32, 37sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3928, 38fsumrecl 14509 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
4039ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝑋 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ))
4127, 40ralrimi 2986 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
42 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)
4342fnmpt 6058 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝑋 Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) Fn 𝑋)
4441, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) Fn 𝑋)
45 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑋
46 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑦
47 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)
4845, 46, 47fvelrnbf 39491 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) Fn 𝑋 → (𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑥𝑋 ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦))
4944, 48syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑥𝑋 ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦))
5049biimpa 500 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)) → ∃𝑥𝑋 ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦)
5147nfrn 5400 . . . . . . . . . 10 𝑥ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)
5251nfcri 2787 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)
5327, 52nfan 1868 . . . . . . . 8 𝑥(𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵))
54 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑥
5554nfcri 2787 . . . . . . . 8 𝑥 𝑦 ∈ ℝ
56 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
5756, 39jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥𝑋 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ))
5842fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
60593adant3 1101 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
61 simp3 1083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦)
6260, 61eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 𝑦)
63393adant3 1101 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
6462, 63eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
65643adant1r 1359 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
66653exp 1283 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)) → (𝑥𝑋 → (((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦𝑦 ∈ ℝ)))
6753, 55, 66rexlimd 3055 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)) → (∃𝑥𝑋 ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦𝑦 ∈ ℝ))
6850, 67mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
6968ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ))
7069ssrdv 3642 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ⊆ ℝ)
7120a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
72 cnrest2 21138 . . . 4 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
7326, 70, 71, 72syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
7425, 73mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
7574, 8syl6eleqr 2741 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wnf 1748  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  cmpt 4762  ran crn 5144   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  (,)cioo 12213  Σcsu 14460  t crest 16128  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  fldccnfld 19794  TopOnctopon 20763   Cn ccn 21076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174
This theorem is referenced by:  refsum2cnlem1  39510
  Copyright terms: Public domain W3C validator