MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  regamcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem regamcl 24694
Description: The Gamma function is real for real input. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
regamcl (𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (Γ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem regamcl
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 3712 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
21recnd 10015 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 eldifn 3713 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → ¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ))
42, 3eldifd 3567 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
5 gamcl 24677 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (Γ‘𝐴) ∈ ℂ)
64, 5syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (Γ‘𝐴) ∈ ℂ)
74dmgmn0 24659 . . 3 (𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → 𝐴 ≠ 0)
86, 2, 7divcan4d 10754 . 2 (𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (((Γ‘𝐴) · 𝐴) / 𝐴) = (Γ‘𝐴))
9 nnuz 11670 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
10 1zzd 11355 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → 1 ∈ ℤ)
11 eqid 2621 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)))
1211, 4gamcvg2 24693 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → seq1( · , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)))) ⇝ ((Γ‘𝐴) · 𝐴))
13 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
1413peano2nnd 10984 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
1514nnrpd 11817 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
1613nnrpd 11817 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
1715, 16rpdivcld 11836 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
1817rpred 11819 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ)
1917rpge0d 11823 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑚 + 1) / 𝑚))
201adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2118, 19, 20recxpcld 24376 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) ∈ ℝ)
2220, 13nndivred 11016 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑚) ∈ ℝ)
23 1red 10002 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
2422, 23readdcld 10016 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑚) + 1) ∈ ℝ)
254adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2625, 13dmgmdivn0 24661 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑚) + 1) ≠ 0)
2721, 24, 26redivcld 10800 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)) ∈ ℝ)
2827, 11fmptd 6343 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1))):ℕ⟶ℝ)
2928ffvelrnda 6317 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)))‘𝑛) ∈ ℝ)
30 remulcl 9968 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℝ)
3130adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℝ)
329, 10, 29, 31seqf 12765 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → seq1( · , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)))):ℕ⟶ℝ)
3332ffvelrnda 6317 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( · , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1))))‘𝑛) ∈ ℝ)
349, 10, 12, 33climrecl 14251 . . 3 (𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → ((Γ‘𝐴) · 𝐴) ∈ ℝ)
3534, 1, 7redivcld 10800 . 2 (𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (((Γ‘𝐴) · 𝐴) / 𝐴) ∈ ℝ)
368, 35eqeltrrd 2699 1 (𝐴 ∈ (ℝ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (Γ‘𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  cdif 3553  cmpt 4675  cfv 5849  (class class class)co 6607  cc 9881  cr 9882  1c1 9884   + caddc 9886   · cmul 9888   / cdiv 10631  cn 10967  cz 11324  seqcseq 12744  𝑐ccxp 24213  Γcgam 24650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961  ax-addf 9962  ax-mulf 9963
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-fi 8264  df-sup 8295  df-inf 8296  df-oi 8362  df-card 8712  df-cda 8937  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-xneg 11893  df-xadd 11894  df-xmul 11895  df-ioo 12124  df-ioc 12125  df-ico 12126  df-icc 12127  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-fl 12536  df-mod 12612  df-seq 12745  df-exp 12804  df-fac 13004  df-bc 13033  df-hash 13061  df-shft 13744  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-limsup 14139  df-clim 14156  df-rlim 14157  df-sum 14354  df-ef 14726  df-sin 14728  df-cos 14729  df-tan 14730  df-pi 14731  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-starv 15880  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-unif 15889  df-hom 15890  df-cco 15891  df-rest 16007  df-topn 16008  df-0g 16026  df-gsum 16027  df-topgen 16028  df-pt 16029  df-prds 16032  df-xrs 16086  df-qtop 16091  df-imas 16092  df-xps 16094  df-mre 16170  df-mrc 16171  df-acs 16173  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-submnd 17260  df-mulg 17465  df-cntz 17674  df-cmn 18119  df-psmet 19660  df-xmet 19661  df-met 19662  df-bl 19663  df-mopn 19664  df-fbas 19665  df-fg 19666  df-cnfld 19669  df-top 20621  df-topon 20638  df-topsp 20651  df-bases 20664  df-cld 20736  df-ntr 20737  df-cls 20738  df-nei 20815  df-lp 20853  df-perf 20854  df-cn 20944  df-cnp 20945  df-haus 21032  df-cmp 21103  df-tx 21278  df-hmeo 21471  df-fil 21563  df-fm 21655  df-flim 21656  df-flf 21657  df-xms 22038  df-ms 22039  df-tms 22040  df-cncf 22594  df-limc 23543  df-dv 23544  df-ulm 24042  df-log 24214  df-cxp 24215  df-lgam 24652  df-gam 24653
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator