Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rege1logbrege0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rege1logbrege0 42123
Description: The general logarithm, with a real base greater than 1, for a real number greater than or equal to 1 is greater than or equal to 0. (Contributed by AV, 25-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
rege1logbrege0 ((𝐵 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑋 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐵 logb 𝑋))

Proof of Theorem rege1logbrege0
StepHypRef Expression
1 1re 10036 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
2 elicopnf 12266 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋)))
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋))
4 id 22 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋))
53, 4sylbi 207 . . . . 5 (𝑋 ∈ (1[,)+∞) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋))
65adantl 482 . . . 4 ((𝐵 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑋 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋))
7 logge0 24345 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (log‘𝑋))
86, 7syl 17 . . 3 ((𝐵 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑋 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ (log‘𝑋))
9 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
10 0lt1 10547 . . . . . . . . . 10 0 < 1
11 0red 10038 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
12 1red 10052 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
13 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℝ)
14 ltletr 10126 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑋) → 0 < 𝑋))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1325 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑋) → 0 < 𝑋))
1610, 15mpani 712 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝑋 → 0 < 𝑋))
1716imp 445 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋) → 0 < 𝑋)
189, 17elrpd 11866 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ+)
193, 18sylbi 207 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (1[,)+∞) → 𝑋 ∈ ℝ+)
2019relogcld 24363 . . . . 5 (𝑋 ∈ (1[,)+∞) → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
2120adantl 482 . . . 4 ((𝐵 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑋 ∈ (1[,)+∞)) → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
221rexri 10094 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
23 elioopnf 12264 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (1(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (1(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵))
25 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
26 0red 10038 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
27 1red 10052 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
28 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ)
29 lttr 10111 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
3026, 27, 28, 29syl3anc 1325 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
3110, 30mpani 712 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
3231imp 445 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
3325, 32elrpd 11866 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
3424, 33sylbi 207 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (1(,)+∞) → 𝐵 ∈ ℝ+)
3534relogcld 24363 . . . . 5 (𝐵 ∈ (1(,)+∞) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
3635adantr 481 . . . 4 ((𝐵 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑋 ∈ (1[,)+∞)) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
37 regt1loggt0 42101 . . . . 5 (𝐵 ∈ (1(,)+∞) → 0 < (log‘𝐵))
3837adantr 481 . . . 4 ((𝐵 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑋 ∈ (1[,)+∞)) → 0 < (log‘𝐵))
39 ge0div 10887 . . . 4 (((log‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (log‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘𝐵)) → (0 ≤ (log‘𝑋) ↔ 0 ≤ ((log‘𝑋) / (log‘𝐵))))
4021, 36, 38, 39syl3anc 1325 . . 3 ((𝐵 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑋 ∈ (1[,)+∞)) → (0 ≤ (log‘𝑋) ↔ 0 ≤ ((log‘𝑋) / (log‘𝐵))))
418, 40mpbid 222 . 2 ((𝐵 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑋 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ ((log‘𝑋) / (log‘𝐵)))
42 recn 10023 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4342adantr 481 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
4432gt0ne0d 10589 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
4527, 28ltlend 10179 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 ↔ (1 ≤ 𝐵𝐵 ≠ 1)))
4645simplbda 654 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 1)
4743, 44, 463jca 1241 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
48 eldifpr 4202 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
4947, 24, 483imtr4i 281 . . 3 (𝐵 ∈ (1(,)+∞) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
50 recn 10023 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
5150adantr 481 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ ℂ)
5217gt0ne0d 10589 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋) → 𝑋 ≠ 0)
5351, 52jca 554 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0))
54 eldifsn 4315 . . . 4 (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0))
5553, 3, 543imtr4i 281 . . 3 (𝑋 ∈ (1[,)+∞) → 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}))
56 logbval 24498 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 logb 𝑋) = ((log‘𝑋) / (log‘𝐵)))
5749, 55, 56syl2an 494 . 2 ((𝐵 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑋 ∈ (1[,)+∞)) → (𝐵 logb 𝑋) = ((log‘𝑋) / (log‘𝐵)))
5841, 57breqtrrd 4679 1 ((𝐵 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑋 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐵 logb 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  wne 2793  cdif 3569  {csn 4175  {cpr 4177   class class class wbr 4651  cfv 5886  (class class class)co 6647  cc 9931  cr 9932  0cc0 9933  1c1 9934  +∞cpnf 10068  *cxr 10070   < clt 10071  cle 10072   / cdiv 10681  +crp 11829  (,)cioo 12172  [,)cico 12174  logclog 24295   logb clogb 24496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011  ax-addf 10012  ax-mulf 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-of 6894  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-supp 7293  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-pm 7857  df-ixp 7906  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-fsupp 8273  df-fi 8314  df-sup 8345  df-inf 8346  df-oi 8412  df-card 8762  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-q 11786  df-rp 11830  df-xneg 11943  df-xadd 11944  df-xmul 11945  df-ioo 12176  df-ioc 12177  df-ico 12178  df-icc 12179  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-fl 12588  df-mod 12664  df-seq 12797  df-exp 12856  df-fac 13056  df-bc 13085  df-hash 13113  df-shft 13801  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-limsup 14196  df-clim 14213  df-rlim 14214  df-sum 14411  df-ef 14792  df-sin 14794  df-cos 14795  df-pi 14797  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-starv 15950  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-unif 15959  df-hom 15960  df-cco 15961  df-rest 16077  df-topn 16078  df-0g 16096  df-gsum 16097  df-topgen 16098  df-pt 16099  df-prds 16102  df-xrs 16156  df-qtop 16161  df-imas 16162  df-xps 16164  df-mre 16240  df-mrc 16241  df-acs 16243  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-submnd 17330  df-mulg 17535  df-cntz 17744  df-cmn 18189  df-psmet 19732  df-xmet 19733  df-met 19734  df-bl 19735  df-mopn 19736  df-fbas 19737  df-fg 19738  df-cnfld 19741  df-top 20693  df-topon 20710  df-topsp 20731  df-bases 20744  df-cld 20817  df-ntr 20818  df-cls 20819  df-nei 20896  df-lp 20934  df-perf 20935  df-cn 21025  df-cnp 21026  df-haus 21113  df-tx 21359  df-hmeo 21552  df-fil 21644  df-fm 21736  df-flim 21737  df-flf 21738  df-xms 22119  df-ms 22120  df-tms 22121  df-cncf 22675  df-limc 23624  df-dv 23625  df-log 24297  df-logb 24497
This theorem is referenced by:  rege1logbzge0  42124
  Copyright terms: Public domain W3C validator