MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rehalfcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rehalfcld 11491
Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rehalfcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rehalfcld (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld
StepHypRef Expression
1 rehalfcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 rehalfcl 11470 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  (class class class)co 6814  cr 10147   / cdiv 10896  2c2 11282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-2 11291
This theorem is referenced by:  div4p1lem1div2  11499  flhalf  12845  fldiv4p1lem1div2  12850  fldiv4lem1div2uz2  12851  facavg  13302  recl  14069  crre  14073  geomulcvg  14826  resin4p  15087  recos4p  15088  resinhcl  15105  cos01bnd  15135  rpnnen2lem11  15172  ruclem1  15179  ruclem2  15180  ruclem3  15181  nno  15320  bitsp1  15375  prmreclem5  15846  4sqlem5  15868  4sqlem6  15869  4sqlem10  15873  4sqlem15  15885  4sqlem16  15886  blhalf  22431  metustexhalf  22582  cfilucfil  22585  nlmvscnlem2  22710  ioo2bl  22817  ioo2blex  22818  reperflem  22842  metnrmlem3  22885  ipcnlem2  23263  iscau3  23296  minveclem4  23423  ovolunlem1a  23484  dvferm1lem  23966  dvferm2lem  23968  lhop1lem  23995  ulmdvlem1  24373  radcnvle  24393  psercnlem1  24398  pserdvlem1  24400  pilem3  24426  pilem3OLD  24427  coseq00topi  24474  cosordlem  24497  logtayl  24626  cxpcn3lem  24708  isosctrlem1  24768  chordthmlem4  24782  heron  24785  birthdaylem3  24900  cxp2limlem  24922  lgamgulmlem2  24976  lgamgulmlem3  24977  lgamucov  24984  ftalem2  25020  chtub  25157  bcmono  25222  lgsqrlem2  25292  gausslemma2dlem1a  25310  gausslemma2dlem2  25312  gausslemma2dlem3  25313  lgsquadlem1  25325  lgsquadlem2  25326  2lgslem1a2  25335  2lgslem1c  25338  2sqlem8  25371  chpo1ubb  25390  dchrisum0fno1  25420  logdivsum  25442  mulog2sumlem1  25443  mulog2sumlem2  25444  vmalogdivsum2  25447  vmalogdivsum  25448  2vmadivsumlem  25449  selberg4lem1  25469  selberg3r  25478  selberg4r  25479  selberg34r  25480  pntpbnd1a  25494  pntibndlem2  25500  pntibndlem3  25501  pntlemg  25507  pntlemh  25508  minvecolem4  28066  nmcexi  29215  lt2addrd  29846  le2halvesd  29850  sqsscirc1  30284  tpr2rico  30288  dnibndlem12  32806  knoppndvlem21  32850  iooelexlt  33539  sin2h  33730  cos2h  33731  tan2h  33732  mblfinlem4  33780  itg2addnclem  33792  ftc1anclem7  33822  ftc1anc  33824  oddfl  40006  dstregt0  40010  suplesup  40071  infleinflem1  40102  ioomidp  40261  lptre2pt  40393  0ellimcdiv  40402  limsupgtlem  40530  dvbdfbdioolem2  40665  dvbdfbdioo  40666  ioodvbdlimc1lem2  40668  ioodvbdlimc2lem  40670  stoweidlem14  40752  stoweidlem24  40762  stoweidlem49  40787  stoweidlem52  40790  stoweidlem62  40800  dirker2re  40830  dirkertrigeqlem3  40838  dirkertrigeq  40839  dirkercncflem1  40841  dirkercncflem2  40842  dirkercncflem4  40844  fourierdlem5  40850  fourierdlem10  40855  fourierdlem43  40888  fourierdlem56  40900  fourierdlem58  40902  fourierdlem62  40906  fourierdlem66  40910  fourierdlem68  40912  fourierdlem72  40916  fourierdlem76  40920  fourierdlem78  40922  fourierdlem79  40923  fourierdlem83  40927  fourierdlem87  40931  fourierdlem103  40947  fourierdlem104  40948  fourierdlem112  40956  sge0xaddlem1  41171  smflimlem4  41506  flnn0div2ge  42855  dignn0flhalflem2  42938  dignn0flhalf  42940
  Copyright terms: Public domain W3C validator