Theorem reheibor 35111

Description: Heine-Borel theorem for real numbers. A subset of ℝ is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
reheibor.2	⊢ 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))
reheibor.3	⊢ 𝑇 = (MetOpen‘𝑀)
reheibor.4	⊢ 𝑈 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
reheibor	⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))

Proof of Theorem reheibor

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 8110	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
2		snfi 8588	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Fin
3	1, 2	eqeltri 2909	. . 3 ⊢ 1o ∈ Fin
4		imassrn 5934	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))
5		0ex 5203	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
6		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
7		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))
8	6, 7	ismrer1 35110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ V → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘{∅})))
9	5, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘{∅}))
10	1	fveq2i 6667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝn‘1o) = (ℝn‘{∅})
11	10	oveq2i 7161	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘{∅}))
12	9, 11	eleqtrri 2912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o))
13	6	rexmet 23393	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
14		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ ↑m 1o) = (ℝ ↑m 1o)
15	14	rrnmet 35101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o ∈ Fin → (ℝn‘1o) ∈ (Met‘(ℝ ↑m 1o)))
16		metxmet 22938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝn‘1o) ∈ (Met‘(ℝ ↑m 1o)) → (ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o)))
17	3, 15, 16	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o))
18		isismty 35073	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m 1o) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑧) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑦)(ℝn‘1o)((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑧)))))
19	13, 17, 18	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m 1o) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑧) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑦)(ℝn‘1o)((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑧))))
20	12, 19	mpbi 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m 1o) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑧) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑦)(ℝn‘1o)((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑧)))
21	20	simpli 486	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m 1o)
22		f1of 6609	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m 1o) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ⟶(ℝ ↑m 1o))
23		frn 6514	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ⟶(ℝ ↑m 1o) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ⊆ (ℝ ↑m 1o))
24	21, 22, 23	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ⊆ (ℝ ↑m 1o)
25	4, 24	sstri 3975	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ (ℝ ↑m 1o)
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ (ℝ ↑m 1o))
27		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) = ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))
28		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) = (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))
29		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(ℝn‘1o)) = (MetOpen‘(ℝn‘1o))
30	14, 27, 28, 29	rrnheibor 35109	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ (ℝ ↑m 1o)) → ((MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1o))) ∧ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
31	3, 26, 30	sylancr 589	. 2 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1o))) ∧ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
32		reheibor.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))
33		cnxmet 23375	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
34		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → 𝑌 ⊆ ℝ)
35		ax-resscn 10588	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
36	34, 35	sstrdi 3978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → 𝑌 ⊆ ℂ)
37		xmetres2 22965	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
38	33, 36, 37	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
39	32, 38	eqeltrid 2917	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑌))
40		xmetres2 22965	. . . . . . 7 ⊢ (((ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o)) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ (ℝ ↑m 1o)) → ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (∞Met‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))
41	17, 26, 40	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (∞Met‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))
42		reheibor.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (MetOpen‘𝑀)
43	42, 28	ismtyhmeo 35077	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (∞Met‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) → (𝑀 Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ⊆ (𝑇Homeo(MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))))
44	39, 41, 43	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑀 Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ⊆ (𝑇Homeo(MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))))
45	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ))
46	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o)))
47	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)))
48		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)
49		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌))
50	48, 49, 27	ismtyres 35080	. . . . . . 7 ⊢ (((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o))) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)) ∧ 𝑌 ⊆ ℝ)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
51	45, 46, 47, 34, 50	syl22anc 836	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
52		xpss12 5564	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℝ ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (ℝ × ℝ))
53	52	anidms 569	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (ℝ × ℝ))
54	53	resabs1d 5878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
55	54, 32	syl6eqr 2874	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = 𝑀)
56	55	oveq1d 7165	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) = (𝑀 Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
57	51, 56	eleqtrd 2915	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ (𝑀 Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
58	44, 57	sseldd 3967	. . . 4 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ (𝑇Homeo(MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))))
59		hmphi 22379	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ (𝑇Homeo(MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))) → 𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
60	58, 59	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → 𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
61		cmphmph 22390	. . . 4 ⊢ (𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) → (𝑇 ∈ Comp → (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp))
62		hmphsym 22384	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) → (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ≃ 𝑇)
63		cmphmph 22390	. . . . 5 ⊢ ((MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ≃ 𝑇 → ((MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp → 𝑇 ∈ Comp))
64	62, 63	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) → ((MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp → 𝑇 ∈ Comp))
65	61, 64	impbid 214	. . 3 ⊢ (𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp))
66	60, 65	syl 17	. 2 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑇 ∈ Comp ↔ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp))
67		reheibor.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (topGen‘ran (,))
68		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
69	6, 68	tgioo 23398	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
70	67, 69	eqtri 2844	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
71	70, 29	ismtyhmeo 35077	. . . . . 6 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o))) → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)) ⊆ (𝑈Homeo(MetOpen‘(ℝn‘1o))))
72	13, 17, 71	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)) ⊆ (𝑈Homeo(MetOpen‘(ℝn‘1o)))
73	72, 12	sselii 3963	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (𝑈Homeo(MetOpen‘(ℝn‘1o)))
74		retopon 23366	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
75	67, 74	eqeltri 2909	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ (TopOn‘ℝ)
76	75	toponunii 21518	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ 𝑈
77	76	hmeocld 22369	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (𝑈Homeo(MetOpen‘(ℝn‘1o))) ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1o)))))
78	73, 34, 77	sylancr 589	. . 3 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1o)))))
79		ismtybnd 35079	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (∞Met‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ (𝑀 Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))) → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌) ↔ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))
80	39, 41, 57, 79	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌) ↔ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))
81	78, 80	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1o))) ∧ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
82	31, 66, 81	3bitr4d 313	1 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  {csn 4560   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138   × cxp 5547  ran crn 5550   ↾ cres 5551   “ cima 5552   ∘ ccom 5553  ⟶wf 6345  –1-1-onto→wf1o 6348  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  1_oc1o 8089   ↑_m cmap 8400  Fincfn 8503  ℂcc 10529  ℝcr 10530   − cmin 10864  (,)cioo 12732  abscabs 14587  topGenctg 16705  ∞Metcxmet 20524  Metcmet 20525  MetOpencmopn 20529  TopOnctopon 21512  Clsdccld 21618  Compccmp 21988  Homeochmeo 22355   ≃ chmph 22356  Bndcbnd 35039   Ismty cismty 35070  ℝⁿcrrn 35097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cc 9851  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8283  df-ec 8285  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-acn 9365  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-gz 16260  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-topgen 16711  df-prds 16715  df-pws 16717  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-cn 21829  df-lm 21831  df-haus 21917  df-cmp 21989  df-hmeo 22357  df-hmph 22358  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-cfil 23852  df-cau 23853  df-cmet 23854  df-totbnd 35040  df-bnd 35051  df-ismty 35071  df-rrn 35098

This theorem is referenced by:  icccmpALT  35113