Theorem rei 14518

Description: The real part of i. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
rei	⊢ (ℜ‘i) = 0

Proof of Theorem rei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 10599	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
2		ax-1cn 10598	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 10651	. . . 4 ⊢ (i · 1) ∈ ℂ
4	3	addid2i 10831	. . 3 ⊢ (0 + (i · 1)) = (i · 1)
5	4	fveq2i 6676	. 2 ⊢ (ℜ‘(0 + (i · 1))) = (ℜ‘(i · 1))
6		0re 10646	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		1re 10644	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		crre 14476	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (ℜ‘(0 + (i · 1))) = 0)
9	6, 7, 8	mp2an 690	. 2 ⊢ (ℜ‘(0 + (i · 1))) = 0
10	1	mulid1i 10648	. . 3 ⊢ (i · 1) = i
11	10	fveq2i 6676	. 2 ⊢ (ℜ‘(i · 1)) = (ℜ‘i)
12	5, 9, 11	3eqtr3ri 2856	1 ⊢ (ℜ‘i) = 0

Syntax hints:   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℝcr 10539  0cc0 10540  1c1 10541  ici 10542   + caddc 10543   · cmul 10545  ℜcre 14459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-2 11703  df-cj 14461  df-re 14462

This theorem is referenced by:  cji  14521  igz  16273  atancj  25491  atanlogsublem  25496