MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reldmpsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reldmpsr 19289
Description: The multivariate power series constructor is a proper binary operator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
reldmpsr Rel dom mPwSer

Proof of Theorem reldmpsr
Dummy variables 𝑖 𝑟 𝑦 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-psr 19284 . 2 mPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ { ∈ (ℕ0𝑚 𝑖) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑((Base‘𝑟) ↑𝑚 𝑑) / 𝑏({⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑟) ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓𝑏, 𝑔𝑏 ↦ (𝑘𝑑 ↦ (𝑟 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝑑𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑟)(𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑟⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑓𝑏 ↦ ((𝑑 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑟)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝑑 × {(TopOpen‘𝑟)}))⟩}))
21reldmmpt2 6731 1 Rel dom mPwSer
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987  {crab 2911  Vcvv 3189  csb 3518  cun 3557  {csn 4153  {ctp 4157  cop 4159   class class class wbr 4618  cmpt 4678   × cxp 5077  ccnv 5078  dom cdm 5079  cres 5081  cima 5082  Rel wrel 5084  cfv 5852  (class class class)co 6610  cmpt2 6612  𝑓 cof 6855  𝑟 cofr 6856  𝑚 cmap 7809  Fincfn 7906  cle 10026  cmin 10217  cn 10971  0cn0 11243  ndxcnx 15785  Basecbs 15788  +gcplusg 15869  .rcmulr 15870  Scalarcsca 15872   ·𝑠 cvsca 15873  TopSetcts 15875  TopOpenctopn 16010  tcpt 16027   Σg cgsu 16029   mPwSer cmps 19279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-rab 2916  df-v 3191  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-br 4619  df-opab 4679  df-xp 5085  df-rel 5086  df-dm 5089  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-psr 19284
This theorem is referenced by:  psrbas  19306  psrelbas  19307  psrplusg  19309  psraddcl  19311  psrmulr  19312  psrmulcllem  19315  psrvscafval  19318  psrvscacl  19321  resspsrbas  19343  resspsradd  19344  resspsrmul  19345  mplval  19356  opsrle  19403  opsrbaslem  19405  opsrbaslemOLD  19406  psrbaspropd  19533  psropprmul  19536
  Copyright terms: Public domain W3C validator