MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relexp0rel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexp0rel 13711
Description: The exponentiation of a class to zero is a relation. (Contributed by RP, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexp0rel (𝑅𝑉 → Rel (𝑅𝑟0))

Proof of Theorem relexp0rel
StepHypRef Expression
1 relres 5385 . 2 Rel ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
2 relexp0g 13696 . . 3 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
32releqd 5164 . 2 (𝑅𝑉 → (Rel (𝑅𝑟0) ↔ Rel ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))))
41, 3mpbiri 248 1 (𝑅𝑉 → Rel (𝑅𝑟0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  cun 3553   I cid 4984  dom cdm 5074  ran crn 5075  cres 5076  Rel wrel 5079  (class class class)co 6604  0cc0 9880  𝑟crelexp 13694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-mulcl 9942  ax-i2m1 9948
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-n0 11237  df-relexp 13695
This theorem is referenced by:  relexprelg  13712  relexpaddg  13727
  Copyright terms: Public domain W3C validator