MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relexp1g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexp1g 13563
Description: A relation composed once is itself. (Contributed by RP, 22-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexp1g (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)

Proof of Theorem relexp1g
Dummy variables 𝑛 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-relexp 13558 . . 3 𝑟 = (𝑟 ∈ V, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛)))
21a1i 11 . 2 (𝑅𝑉 → ↑𝑟 = (𝑟 ∈ V, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛))))
3 simprr 791 . . . . . 6 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → 𝑛 = 1)
4 ax-1ne0 9862 . . . . . . 7 1 ≠ 0
5 neeq1 2843 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
64, 5mpbiri 246 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → 𝑛 ≠ 0)
73, 6syl 17 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → 𝑛 ≠ 0)
87neneqd 2786 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → ¬ 𝑛 = 0)
98iffalsed 4046 . . 3 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛)) = (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛))
10 simprl 789 . . . . . 6 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → 𝑟 = 𝑅)
1110mpteq2dv 4667 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟) = (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))
1211seqeq3d 12629 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟)) = seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅)))
1312, 3fveq12d 6094 . . 3 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛) = (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))‘1))
14 1z 11243 . . . 4 1 ∈ ℤ
15 eqidd 2610 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅) = (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))
16 eqidd 2610 . . . . 5 (((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) ∧ 𝑧 = 1) → 𝑅 = 𝑅)
17 1ex 9892 . . . . . 6 1 ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → 1 ∈ V)
19 simpl 471 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → 𝑅𝑉)
2015, 16, 18, 19fvmptd 6182 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → ((𝑧 ∈ V ↦ 𝑅)‘1) = 𝑅)
2114, 20seq1i 12635 . . 3 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))‘1) = 𝑅)
229, 13, 213eqtrd 2647 . 2 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛)) = 𝑅)
23 elex 3184 . 2 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
24 1nn0 11158 . . 3 1 ∈ ℕ0
2524a1i 11 . 2 (𝑅𝑉 → 1 ∈ ℕ0)
262, 22, 23, 25, 23ovmpt2d 6664 1 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172  cun 3537  ifcif 4035  cmpt 4637   I cid 4938  dom cdm 5028  ran crn 5029  cres 5030  ccom 5032  cfv 5790  (class class class)co 6527  cmpt2 6529  0cc0 9793  1c1 9794  0cn0 11142  seqcseq 12621  𝑟crelexp 13557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-seq 12622  df-relexp 13558
This theorem is referenced by:  dfid5  13564  dfid6  13565  relexpsucr  13566  relexp1d  13568  relexpsucnnl  13569  relexpsucl  13570  relexpcnv  13572  relexprelg  13575  relexpnndm  13578  relexpfld  13586  relexpaddnn  13588  relexpaddg  13590  dfrcl3  36810  relexp2  36812  iunrelexp0  36837  relexpxpnnidm  36838  corclrcl  36842  iunrelexpmin1  36843  trclrelexplem  36846  iunrelexpmin2  36847  relexp01min  36848  relexp0a  36851  relexpaddss  36853  dftrcl3  36855  cotrcltrcl  36860  trclimalb2  36861  trclfvdecomr  36863  dfrtrcl3  36868  corcltrcl  36874  cotrclrcl  36877
  Copyright terms: Public domain W3C validator