Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  relexpiidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexpiidm 37477
Description: Any power of any restriction of the identity relation is itself. (Contributed by RP, 12-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpiidm ((𝐴𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴))

Proof of Theorem relexpiidm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6612 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0))
21eqeq1d 2623 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ 𝐴)))
32imbi2d 330 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ 𝐴))))
4 oveq2 6612 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦))
54eqeq1d 2623 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴)))
65imbi2d 330 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴))))
7 oveq2 6612 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)))
87eqeq1d 2623 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴)))
98imbi2d 330 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
10 oveq2 6612 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁))
1110eqeq1d 2623 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴)))
1211imbi2d 330 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴))))
13 resiexg 7049 . . . . 5 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
14 relexp0g 13696 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴) ∈ V → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴))))
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴))))
16 dmresi 5416 . . . . . . 7 dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
17 rnresi 5438 . . . . . . 7 ran ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
1816, 17uneq12i 3743 . . . . . 6 (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴)) = (𝐴𝐴)
19 unidm 3734 . . . . . 6 (𝐴𝐴) = 𝐴
2018, 19eqtri 2643 . . . . 5 (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴)) = 𝐴
2120reseq2i 5353 . . . 4 ( I ↾ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴))) = ( I ↾ 𝐴)
2215, 21syl6eq 2671 . . 3 (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ 𝐴))
23 relres 5385 . . . . . . . . . 10 Rel ( I ↾ 𝐴)
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉) → Rel ( I ↾ 𝐴))
2513adantl 482 . . . . . . . . 9 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉) → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
2624, 25relexpsucrd 13704 . . . . . . . 8 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) ∘ ( I ↾ 𝐴))))
27263impia 1258 . . . . . . 7 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉𝑦 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) ∘ ( I ↾ 𝐴)))
28 simp1 1059 . . . . . . . . 9 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉𝑦 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴))
2928coeq1d 5243 . . . . . . . 8 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉𝑦 ∈ ℕ0) → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)))
30 coires1 5612 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (( I ↾ 𝐴) ↾ 𝐴)
31 residm 5389 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐴) ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)
3230, 31eqtri 2643 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
3329, 32syl6eq 2671 . . . . . . 7 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉𝑦 ∈ ℕ0) → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴))
3427, 33eqtrd 2655 . . . . . 6 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉𝑦 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))
35343exp 1261 . . . . 5 ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) → (𝐴𝑉 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
3635com13 88 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑉 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
3736a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴)) → (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
383, 6, 9, 12, 22, 37nn0ind 11416 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴)))
3938impcom 446 1 ((𝐴𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  cun 3553   I cid 4984  dom cdm 5074  ran crn 5075  cres 5076  ccom 5078  Rel wrel 5079  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  0cn0 11236  𝑟crelexp 13694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-seq 12742  df-relexp 13695
This theorem is referenced by:  relexpmulg  37483  relexpxpmin  37490
  Copyright terms: Public domain W3C validator