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Theorem relexpindlem 14023
 Description: Principle of transitive induction, finite and non-class version. The first three hypotheses give various existences, the next three give necessary substitutions and the last two are the basis and the induction hypothesis. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpindlem.1 (𝜂 → Rel 𝑅)
relexpindlem.2 (𝜂𝑅 ∈ V)
relexpindlem.3 (𝜂𝑆 ∈ V)
relexpindlem.4 (𝑖 = 𝑆 → (𝜑𝜒))
relexpindlem.5 (𝑖 = 𝑥 → (𝜑𝜓))
relexpindlem.6 (𝑖 = 𝑗 → (𝜑𝜃))
relexpindlem.7 (𝜂𝜒)
relexpindlem.8 (𝜂 → (𝑗𝑅𝑥 → (𝜃𝜓)))
Assertion
Ref Expression
relexpindlem (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑖   𝑥,𝑛   𝑖,𝑗,𝑅,𝑥   𝑆,𝑖,𝑗,𝑥   𝜂,𝑖,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥   𝜓,𝑖,𝑗   𝜒,𝑖   𝜃,𝑖   𝜂,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑛)   𝜒(𝑥,𝑗,𝑛)   𝜃(𝑥,𝑗,𝑛)   𝜂(𝑛)   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem relexpindlem
Dummy variables 𝑙 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . 4 ((𝜂𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
2 eleq1 2828 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
32anbi2d 742 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → ((𝜂𝑘 ∈ ℕ0) ↔ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0)))
4 oveq2 6823 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑅𝑟𝑘) = (𝑅𝑟0))
54breqd 4816 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝑆(𝑅𝑟0)𝑥))
65imbi1d 330 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ (𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓)))
76albidv 1999 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓)))
83, 7imbi12d 333 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (((𝜂𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓)) ↔ ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓))))
9 eleq1 2828 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 ∈ ℕ0𝑙 ∈ ℕ0))
109anbi2d 742 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑙 → ((𝜂𝑘 ∈ ℕ0) ↔ (𝜂𝑙 ∈ ℕ0)))
11 oveq2 6823 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑙 → (𝑅𝑟𝑘) = (𝑅𝑟𝑙))
1211breqd 4816 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑙 → (𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥))
1312imbi1d 330 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑙 → ((𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)))
1413albidv 1999 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑙 → (∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)))
1510, 14imbi12d 333 . . . . 5 (𝑘 = 𝑙 → (((𝜂𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓)) ↔ ((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓))))
16 eleq1 2828 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0))
1716anbi2d 742 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑙 + 1) → ((𝜂𝑘 ∈ ℕ0) ↔ (𝜂 ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0)))
18 oveq2 6823 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝑅𝑟𝑘) = (𝑅𝑟(𝑙 + 1)))
1918breqd 4816 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥))
2019imbi1d 330 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑙 + 1) → ((𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ (𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓)))
2120albidv 1999 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓)))
2217, 21imbi12d 333 . . . . 5 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (((𝜂𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓)) ↔ ((𝜂 ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓))))
23 eleq1 2828 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0))
2423anbi2d 742 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → ((𝜂𝑘 ∈ ℕ0) ↔ (𝜂𝑛 ∈ ℕ0)))
25 oveq2 6823 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝑅𝑟𝑘) = (𝑅𝑟𝑛))
2625breqd 4816 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥))
2726imbi1d 330 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓)))
2827albidv 1999 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓)))
2924, 28imbi12d 333 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → (((𝜂𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓)) ↔ ((𝜂𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓))))
30 relexpindlem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜂𝑅 ∈ V)
31 relexpindlem.1 . . . . . . . . . 10 (𝜂 → Rel 𝑅)
3230, 31jca 555 . . . . . . . . 9 (𝜂 → (𝑅 ∈ V ∧ Rel 𝑅))
3332adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑅 ∈ V ∧ Rel 𝑅))
34 relexp0 13983 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ V ∧ Rel 𝑅) → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅))
36 relexpindlem.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜂𝜒)
3736adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝜒)
38 simpl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝜂)
39 relexpindlem.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜂𝑆 ∈ V)
4039adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜒𝜂) → 𝑆 ∈ V)
41 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 = 𝑆 ∧ (𝜂 ∧ (𝜑𝑖 = 𝑆))) → 𝜂)
4241, 36jccil 564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 = 𝑆 ∧ (𝜂 ∧ (𝜑𝑖 = 𝑆))) → (𝜒𝜂))
4342expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜂 ∧ (𝜑𝑖 = 𝑆)) → (𝑖 = 𝑆 → (𝜒𝜂)))
4443expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 = 𝑆) → (𝜂 → (𝑖 = 𝑆 → (𝜒𝜂))))
4544expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑆 → (𝜑 → (𝜂 → (𝑖 = 𝑆 → (𝜒𝜂)))))
46453imp1 1441 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ 𝑖 = 𝑆) → (𝜒𝜂))
4746expcom 450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑆 → ((𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) → (𝜒𝜂)))
48 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜂𝑖 = 𝑆) → 𝑖 = 𝑆)
4948adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) → 𝑖 = 𝑆)
50 relexpindlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑆 → (𝜑𝜒))
5150ad2antll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) → (𝜑𝜒))
5251bicomd 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) → (𝜒𝜑))
53 anbi1 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝜑) → ((𝜒 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) ↔ (𝜑 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆))))
54 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) → 𝜑)
5553, 54syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝜑) → ((𝜒 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) → 𝜑))
5652, 55mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) → 𝜑)
57 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) → 𝜂)
5849, 56, 573jca 1123 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜒 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) → (𝑖 = 𝑆𝜑𝜂))
5958anassrs 683 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜒𝜂) ∧ 𝑖 = 𝑆) → (𝑖 = 𝑆𝜑𝜂))
6059expcom 450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑆 → ((𝜒𝜂) → (𝑖 = 𝑆𝜑𝜂)))
6147, 60impbid 202 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑆 → ((𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ↔ (𝜒𝜂)))
6261spcegv 3435 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ V → ((𝜒𝜂) → ∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂)))
6340, 62mpcom 38 . . . . . . . . . 10 ((𝜒𝜂) → ∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂))
6437, 38, 63syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂))
65 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥)
66 df-br 4806 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ↔ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝑅))
6765, 66sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))) → ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝑅))
68 vex 3344 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ V
6968opelres 5560 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝑅) ↔ (⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ∧ 𝑆 𝑅))
7067, 69sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))) → (⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ∧ 𝑆 𝑅))
71 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ∧ 𝑆 𝑅) ∧ (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I )
72 df-br 4806 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 I 𝑥 ↔ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I )
7371, 72sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 (((⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ∧ 𝑆 𝑅) ∧ (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0)))) → 𝑆 I 𝑥)
7468ideq 5431 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 I 𝑥𝑆 = 𝑥)
7573, 74sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (((⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ∧ 𝑆 𝑅) ∧ (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0)))) → 𝑆 = 𝑥)
7670, 75mpancom 706 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝑆 = 𝑥)
77 breq1 4808 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 = 𝑥 → (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥𝑥( I ↾ 𝑅)𝑥))
78 eqeq2 2772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 = 𝑥 → (𝑖 = 𝑆𝑖 = 𝑥))
79783anbi1d 1552 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 = 𝑥 → ((𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ↔ (𝑖 = 𝑥𝜑𝜂)))
8079exbidv 2000 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 = 𝑥 → (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ↔ ∃𝑖(𝑖 = 𝑥𝜑𝜂)))
8180anbi1d 743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 = 𝑥 → ((∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0)) ↔ (∃𝑖(𝑖 = 𝑥𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))))
8277, 81anbi12d 749 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 = 𝑥 → ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))) ↔ (𝑥( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑥𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0)))))
83 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜂 ∧ (𝜑𝑖 = 𝑥)) → 𝜑)
84 relexpindlem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑥 → (𝜑𝜓))
8584ad2antll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜂 ∧ (𝜑𝑖 = 𝑥)) → (𝜑𝜓))
8683, 85mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜂 ∧ (𝜑𝑖 = 𝑥)) → 𝜓)
8786expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 = 𝑥) → (𝜂𝜓))
8887expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑥 → (𝜑 → (𝜂𝜓)))
89883imp 1102 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = 𝑥𝜑𝜂) → 𝜓)
9089exlimiv 2008 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑖(𝑖 = 𝑥𝜑𝜂) → 𝜓)
9190ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑥𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝜓)
9282, 91syl6bi 243 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 = 𝑥 → ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝜓))
9376, 92mpcom 38 . . . . . . . . . 10 ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝜓)
9493expcom 450 . . . . . . . . 9 ((∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0)) → (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥𝜓))
9564, 94mpancom 706 . . . . . . . 8 ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥𝜓))
96 breq 4807 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅) → (𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥))
9796imbi1d 330 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅) → ((𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓) ↔ (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥𝜓)))
9895, 97syl5ibr 236 . . . . . . 7 ((𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅) → ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓)))
9935, 98mpcom 38 . . . . . 6 ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓))
10099alrimiv 2005 . . . . 5 ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓))
101 breq2 4809 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑥 → (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥))
102101, 84imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑥 → ((𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)))
103102cbvalv 2419 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓))
104103bicomi 214 . . . . . . . . 9 (∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑))
105 imbi2 337 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) → (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ↔ ((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑))))
106105anbi1d 743 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) → ((((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ↔ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))
107106anbi2d 742 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) → (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)) ↔ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))))
108107anbi2d 742 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) → ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) ↔ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))))
10930adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → 𝑅 ∈ V)
11031adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → Rel 𝑅)
111 simprrr 824 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
112 relexpsucl 13993 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ V ∧ Rel 𝑅𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙)))
113109, 110, 111, 112syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → (𝑅𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙)))
114 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → 𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥)
11539ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → 𝑆 ∈ V)
116 brcog 5445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ↔ ∃𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))
117115, 68, 116sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ↔ ∃𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))
118114, 117mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → ∃𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))
119 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) → 𝜂)
120 simprrl 823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
121120ad2antll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
122119, 121jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) → (𝜂𝑙 ∈ ℕ0))
123 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))) → ((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)))
124123ad2antll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) → ((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)))
125122, 124mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑))
126 simprrl 823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜂)
127 simprrr 824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) → 𝑗𝑅𝑥)
128127ad2antll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))) → 𝑗𝑅𝑥)
129128ad2antll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝑗𝑅𝑥)
130 breq2 4809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 = 𝑗 → (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗))
131 relexpindlem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 = 𝑗 → (𝜑𝜃))
132130, 131imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)))
133132cbvalv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃))
134 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → (∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)))
135 imbi2 337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ↔ ((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃))))
136135anbi1d 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → ((((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) ↔ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))
137136anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))) ↔ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))
138137anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))) ↔ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))))
139138anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) ↔ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))))
140134, 139anbi12d 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) ↔ (∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))))))
141 simprrl 823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) → 𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗)
142141ad2antll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))) → 𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗)
143142ad2antll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗)
144 sp 2201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃) → (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃))
145144adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃))
146143, 145mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜃)
147140, 146syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜃))
148133, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜃)
149 relexpindlem.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜂 → (𝑗𝑅𝑥 → (𝜃𝜓)))
150126, 129, 148, 149syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜓)
151125, 150mpancom 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) → 𝜓)
152151expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓))
153152expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))) → (𝜂 → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓)))
154153expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) → ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 → (𝜂 → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓))))
155154anassrs 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)) → ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 → (𝜂 → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓))))
156155impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) → (𝜂 → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓)))
157156anassrs 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)) → (𝜂 → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓)))
158157impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜂 ∧ (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓))
159158anassrs 683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓))
160159impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) → 𝜓)
161160anassrs 683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)) → 𝜓)
162118, 161exlimddv 2013 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → 𝜓)
163162expcom 450 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓))
164 breq 4807 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙)) → (𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥))
165164imbi1d 330 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙)) → ((𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓) ↔ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓)))
166163, 165syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙)) → ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → (𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓)))
167113, 166mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → (𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓))
168167alrimiv 2005 . . . . . . . . . 10 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓))
169108, 168syl6bi 243 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) → ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓)))
170104, 169ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓))
171170anassrs 683 . . . . . . 7 (((𝜂 ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0) ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓))
172171expcom 450 . . . . . 6 ((((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝜂 ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓)))
173172expcom 450 . . . . 5 (𝑙 ∈ ℕ0 → (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) → ((𝜂 ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓))))
1748, 15, 22, 29, 100, 173nn0ind 11685 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝜂𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓)))
1751, 174mpcom 38 . . 3 ((𝜂𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓))
17617519.21bi 2207 . 2 ((𝜂𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓))
177176ex 449 1 (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072  ∀wal 1630   = wceq 1632  ∃wex 1853   ∈ wcel 2140  Vcvv 3341  ⟨cop 4328  ∪ cuni 4589   class class class wbr 4805   I cid 5174   ↾ cres 5269   ∘ ccom 5271  Rel wrel 5272  (class class class)co 6815  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152  ℕ0cn0 11505  ↑𝑟crelexp 13980 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-seq 13017  df-relexp 13981 This theorem is referenced by:  relexpind  14024
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