Theorem relexpmulnn 40047

Description: With exponents limited to the counting numbers, the composition of powers of a relation is the relation raised to the product of exponents. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexpmulnn	⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟𝐼))

Proof of Theorem relexpmulnn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1))
2		oveq2 7158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 1))
3	2	oveq2d 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1)))
4	1, 3	eqeq12d 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1))))
5	4	imbi2d 343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1)))))
6		oveq2 7158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦))
7		oveq2 7158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 𝑦))
8	7	oveq2d 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)))
9	6, 8	eqeq12d 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))))
10	9	imbi2d 343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)))))
11		oveq2 7158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)))
12		oveq2 7158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · (𝑦 + 1)))
13	12	oveq2d 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
14	11, 13	eqeq12d 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1)))))
15	14	imbi2d 343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
16		oveq2 7158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾))
17		oveq2 7158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 𝐾))
18	17	oveq2d 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)))
19	16, 18	eqeq12d 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾))))
20	19	imbi2d 343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)))))
21		ovexd 7185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝑅↑𝑟𝐽) ∈ V)
22	21	relexp1d 14384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅↑𝑟𝐽))
23		simp1 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → 𝐽 ∈ ℕ)
24		nnre 11639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℝ)
25		ax-1rid 10601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ ℝ → (𝐽 · 1) = 𝐽)
26	23, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝐽 · 1) = 𝐽)
27	26	eqcomd 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → 𝐽 = (𝐽 · 1))
28	27	oveq2d 7166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝑅↑𝑟𝐽) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1)))
29	22, 28	eqtrd 2856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1)))
30		ovex 7183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅↑𝑟𝐽) ∈ V
31		simp1 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℕ)
32		relexpsucnnr 14378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅↑𝑟𝐽) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)))
33	30, 31, 32	sylancr 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)))
34		simp3 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)))
35	34	coeq1d 5726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = ((𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)))
36		simp21 1202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝐽 ∈ ℕ)
37	36, 31	nnmulcld 11684	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · 𝑦) ∈ ℕ)
38		simp22 1203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑅 ∈ 𝑉)
39		relexpaddnn 14404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 · 𝑦) ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = (𝑅↑𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
40	37, 36, 38, 39	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = (𝑅↑𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
41	35, 40	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = (𝑅↑𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
42	36	nncnd 11648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝐽 ∈ ℂ)
43	31	nncnd 11648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
44		1cnd 10630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 1 ∈ ℂ)
45	42, 43, 44	adddid 10659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · (𝑦 + 1)) = ((𝐽 · 𝑦) + (𝐽 · 1)))
46	42	mulid1d 10652	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · 1) = 𝐽)
47	46	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 · 𝑦) + (𝐽 · 1)) = ((𝐽 · 𝑦) + 𝐽))
48	45, 47	eqtr2d 2857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 · 𝑦) + 𝐽) = (𝐽 · (𝑦 + 1)))
49	48	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝑅↑𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
50	41, 49	eqtrd 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
51	33, 50	eqtrd 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
52	51	3exp 1115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
53	52	a2d 29	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
54	5, 10, 15, 20, 29, 53	nnind 11650	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾))))
55	54	3expd 1349	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐽 ∈ ℕ → (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 = (𝐽 · 𝐾) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾))))))
56	55	impcom 410	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 = (𝐽 · 𝐾) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)))))
57	56	impd 413	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾))))
58	57	impcom 410	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)))
59		simplr 767	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → 𝐼 = (𝐽 · 𝐾))
60	59	eqcomd 2827	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐽 · 𝐾) = 𝐼)
61	60	oveq2d 7166	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)) = (𝑅↑𝑟𝐼))
62	58, 61	eqtrd 2856	1 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494   ∘ ccom 5553  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  ℕcn 11632  ↑_𝑟crelexp 14373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-seq 13364  df-relexp 14374

This theorem is referenced by:  relexpmulg  40048