Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  relexpxpmin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexpxpmin 37487
Description: The composition of powers of a cross-product of non-disjoint sets is the cross product raised to the minimum exponent. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpxpmin (((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))

Proof of Theorem relexpxpmin
StepHypRef Expression
1 elnn0 11238 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
2 elnn0 11238 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ ℕ0 ↔ (𝐽 ∈ ℕ ∨ 𝐽 = 0))
3 ifeqor 4104 . . . . . . . . . . 11 (if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽 ∨ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)
4 andi 910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ (if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽 ∨ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽) ∨ (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)))
54biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ (if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽 ∨ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)) → ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽) ∨ (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)))
63, 5mpan2 706 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽) ∨ (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)))
7 eqtr 2640 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽) → 𝐼 = 𝐽)
8 eqtr 2640 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾) → 𝐼 = 𝐾)
97, 8orim12i 538 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽) ∨ (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)) → (𝐼 = 𝐽𝐼 = 𝐾))
10 relexpxpnnidm 37473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐾) = (𝐴 × 𝐵)))
1110imp 445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐾) = (𝐴 × 𝐵))
12113ad2antl3 1223 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐾) = (𝐴 × 𝐵))
13 relexpxpnnidm 37473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = (𝐴 × 𝐵)))
1413imp 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = (𝐴 × 𝐵))
15143ad2antl2 1222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = (𝐴 × 𝐵))
1615oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐾))
17 simpl1 1062 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐼 = 𝐽)
1817oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽))
1918, 15eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼) = (𝐴 × 𝐵))
2012, 16, 193eqtr4d 2665 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))
21203exp1 1280 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = 𝐽 → (𝐽 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
22143ad2antl2 1222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 = 𝐾𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = (𝐴 × 𝐵))
23 simpl1 1062 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 = 𝐾𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐼 = 𝐾)
2423eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 = 𝐾𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐾 = 𝐼)
2522, 24oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 = 𝐾𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))
26253exp1 1280 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = 𝐾 → (𝐽 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
2721, 26jaoi 394 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 = 𝐽𝐼 = 𝐾) → (𝐽 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
286, 9, 273syl 18 . . . . . . . . 9 (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → (𝐽 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
2928com13 88 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐽 ∈ ℕ → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
30 simp3 1061 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾))
31 simp2 1060 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐽 = 0)
32 simp1 1059 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℕ)
3332nngt0d 11008 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 0 < 𝐾)
3431, 33eqbrtrd 4635 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐽 < 𝐾)
3534iftrued 4066 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽)
3630, 35, 313eqtrd 2659 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐼 = 0)
37 simpr1 1065 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐴𝑈)
38 simpr2 1066 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐵𝑉)
39 xpexg 6913 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑈𝐵𝑉) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4037, 38, 39syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
41 dmexg 7044 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
42 rnexg 7045 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4341, 42jca 554 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → (dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V ∧ ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V))
44 unexg 6912 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V ∧ ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V) → (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵)) ∈ V)
4540, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵)) ∈ V)
46 simpl1 1062 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ ℕ)
4746nnnn0d 11295 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
48 relexpiidm 37474 . . . . . . . . . . . . 13 (((dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵)) ∈ V ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵)))↑𝑟𝐾) = ( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵))))
4945, 47, 48syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵)))↑𝑟𝐾) = ( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵))))
50 simpl2 1063 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐽 = 0)
5150oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
52 relexp0g 13696 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0) = ( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵))))
5340, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0) = ( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵))))
5451, 53eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = ( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵))))
5554oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵)))↑𝑟𝐾))
56 simpl3 1064 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐼 = 0)
5756oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
5857, 53eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼) = ( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵))))
5949, 55, 583eqtr4d 2665 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))
6059ex 450 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))
6136, 60syld3an3 1368 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))
62613exp 1261 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐽 = 0 → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
6329, 62jaod 395 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐽 ∈ ℕ ∨ 𝐽 = 0) → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
642, 63syl5bi 232 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
65 simp1 1059 . . . . . . . 8 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐾 = 0)
662biimpi 206 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 ∈ ℕ ∨ 𝐽 = 0))
67663ad2ant2 1081 . . . . . . . 8 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → (𝐽 ∈ ℕ ∨ 𝐽 = 0))
68 simp3 1061 . . . . . . . . 9 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾))
69 nn0nlt0 11263 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐽 < 0)
70693ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → ¬ 𝐽 < 0)
7165breq2d 4625 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → (𝐽 < 𝐾𝐽 < 0))
7270, 71mtbird 315 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → ¬ 𝐽 < 𝐾)
7372iffalsed 4069 . . . . . . . . 9 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)
7468, 73, 653eqtrd 2659 . . . . . . . 8 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐼 = 0)
75133ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = (𝐴 × 𝐵)))
7675imp 445 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = (𝐴 × 𝐵))
7776oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟0) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
78 simpl1 1062 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐾 = 0)
7978oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟0))
80 simpl3 1064 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐼 = 0)
8180oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
8277, 79, 813eqtr4d 2665 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))
83823exp1 1280 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 0 → (𝐽 ∈ ℕ → (𝐼 = 0 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
84 simpr1 1065 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐴𝑈)
85 simpr2 1066 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐵𝑉)
8684, 85, 39syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
87 relexp0idm 37485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0)↑𝑟0) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0)↑𝑟0) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
89 simpl2 1063 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐽 = 0)
9089oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
91 simpl1 1062 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐾 = 0)
9290, 91oveq12d 6622 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0)↑𝑟0))
93 simpl3 1064 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐼 = 0)
9493oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
9588, 92, 943eqtr4d 2665 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))
96953exp1 1280 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 0 → (𝐽 = 0 → (𝐼 = 0 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
9783, 96jaod 395 . . . . . . . 8 (𝐾 = 0 → ((𝐽 ∈ ℕ ∨ 𝐽 = 0) → (𝐼 = 0 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
9865, 67, 74, 97syl3c 66 . . . . . . 7 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))
99983exp 1261 . . . . . 6 (𝐾 = 0 → (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
10064, 99jaoi 394 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0) → (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
1011, 100sylbi 207 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
102101com13 88 . . 3 (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
1031023imp 1254 . 2 ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))
104103impcom 446 1 (((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186  cun 3553  cin 3554  c0 3891  ifcif 4058   class class class wbr 4613   I cid 4984   × cxp 5072  dom cdm 5074  ran crn 5075  cres 5076  (class class class)co 6604  0cc0 9880   < clt 10018  cn 10964  0cn0 11236  𝑟crelexp 13694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-seq 12742  df-relexp 13695
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator