Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  relexpxpnnidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexpxpnnidm 37473
Description: Any positive power of a cross product of non-disjoint sets is itself. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpxpnnidm (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁) = (𝐴 × 𝐵)))

Proof of Theorem relexpxpnnidm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6612 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1))
21eqeq1d 2623 . . 3 (𝑥 = 1 → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵) ↔ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1) = (𝐴 × 𝐵)))
32imbi2d 330 . 2 (𝑥 = 1 → (((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1) = (𝐴 × 𝐵))))
4 oveq2 6612 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦))
54eqeq1d 2623 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵) ↔ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)))
65imbi2d 330 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵))))
7 oveq2 6612 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)))
87eqeq1d 2623 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵) ↔ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵)))
98imbi2d 330 . 2 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵))))
10 oveq2 6612 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁))
1110eqeq1d 2623 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵) ↔ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁) = (𝐴 × 𝐵)))
1211imbi2d 330 . 2 (𝑥 = 𝑁 → (((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁) = (𝐴 × 𝐵))))
13 3simpa 1056 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (𝐴𝑈𝐵𝑉))
14 xpexg 6913 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
15 relexp1g 13700 . . 3 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1) = (𝐴 × 𝐵))
1613, 14, 153syl 18 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1) = (𝐴 × 𝐵))
17 simp2 1060 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅))
1817, 13, 143syl 18 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
19 simp1 1059 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℕ)
20 relexpsucnnr 13699 . . . . . 6 (((𝐴 × 𝐵) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) ∘ (𝐴 × 𝐵)))
2118, 19, 20syl2anc 692 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) ∘ (𝐴 × 𝐵)))
22 simp3 1061 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵))
2322coeq1d 5243 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) ∘ (𝐴 × 𝐵)) = ((𝐴 × 𝐵) ∘ (𝐴 × 𝐵)))
24 simp23 1094 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴𝐵) ≠ ∅)
2524xpcoidgend 13648 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 × 𝐵) ∘ (𝐴 × 𝐵)) = (𝐴 × 𝐵))
2621, 23, 253eqtrd 2659 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵))
27263exp 1261 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵))))
2827a2d 29 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → (((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵))))
293, 6, 9, 12, 16, 28nnind 10982 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁) = (𝐴 × 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186  cin 3554  c0 3891   × cxp 5072  ccom 5078  (class class class)co 6604  1c1 9881   + caddc 9883  cn 10964  𝑟crelexp 13694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-seq 12742  df-relexp 13695
This theorem is referenced by:  relexpxpmin  37487
  Copyright terms: Public domain W3C validator