MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relfunc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relfunc 16516
Description: The set of functors is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
relfunc Rel (𝐷 Func 𝐸)

Proof of Theorem relfunc
Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-func 16512 . 2 Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd𝑧))) ↑𝑚 ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓𝑥)) ∧ ∀𝑦𝑏𝑧𝑏𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓𝑥), (𝑓𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
21relmpt2opab 7256 1 Rel (𝐷 Func 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  wral 2911  [wsbc 3433  cop 4181   × cxp 5110  Rel wrel 5117  wf 5882  cfv 5886  (class class class)co 6647  1st c1st 7163  2nd c2nd 7164  𝑚 cmap 7854  Xcixp 7905  Basecbs 15851  Hom chom 15946  compcco 15947  Catccat 16319  Idccid 16320   Func cfunc 16508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-func 16512
This theorem is referenced by:  cofuval  16536  cofu1  16538  cofu2  16540  cofuval2  16541  cofucl  16542  cofuass  16543  cofulid  16544  cofurid  16545  funcres  16550  funcres2  16552  wunfunc  16553  funcpropd  16554  relfull  16562  relfth  16563  isfull  16564  isfth  16568  idffth  16587  cofull  16588  cofth  16589  ressffth  16592  isnat  16601  isnat2  16602  nat1st2nd  16605  fuccocl  16618  fucidcl  16619  fuclid  16620  fucrid  16621  fucass  16622  fucsect  16626  fucinv  16627  invfuc  16628  fuciso  16629  natpropd  16630  fucpropd  16631  catciso  16751  prfval  16833  prfcl  16837  prf1st  16838  prf2nd  16839  1st2ndprf  16840  evlfcllem  16855  evlfcl  16856  curf1cl  16862  curf2cl  16865  curfcl  16866  uncf1  16870  uncf2  16871  curfuncf  16872  uncfcurf  16873  diag1cl  16876  diag2cl  16880  curf2ndf  16881  yon1cl  16897  oyon1cl  16905  yonedalem1  16906  yonedalem21  16907  yonedalem3a  16908  yonedalem4c  16911  yonedalem22  16912  yonedalem3b  16913  yonedalem3  16914  yonedainv  16915  yonffthlem  16916  yoniso  16919
  Copyright terms: Public domain W3C validator