MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relfunc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relfunc 16287
Description: The set of functors is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
relfunc Rel (𝐷 Func 𝐸)

Proof of Theorem relfunc
Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-func 16283 . 2 Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd𝑧))) ↑𝑚 ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓𝑥)) ∧ ∀𝑦𝑏𝑧𝑏𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓𝑥), (𝑓𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
21relmpt2opab 7119 1 Rel (𝐷 Func 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2891  [wsbc 3397  cop 4126   × cxp 5022  Rel wrel 5029  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  1st c1st 7030  2nd c2nd 7031  𝑚 cmap 7717  Xcixp 7767  Basecbs 15637  Hom chom 15721  compcco 15722  Catccat 16090  Idccid 16091   Func cfunc 16279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ral 2896  df-rex 2897  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fv 5794  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-func 16283
This theorem is referenced by:  cofuval  16307  cofu1  16309  cofu2  16311  cofuval2  16312  cofucl  16313  cofuass  16314  cofulid  16315  cofurid  16316  funcres  16321  funcres2  16323  wunfunc  16324  funcpropd  16325  relfull  16333  relfth  16334  isfull  16335  isfth  16339  idffth  16358  cofull  16359  cofth  16360  ressffth  16363  isnat  16372  isnat2  16373  nat1st2nd  16376  fuccocl  16389  fucidcl  16390  fuclid  16391  fucrid  16392  fucass  16393  fucsect  16397  fucinv  16398  invfuc  16399  fuciso  16400  natpropd  16401  fucpropd  16402  catciso  16522  prfval  16604  prfcl  16608  prf1st  16609  prf2nd  16610  1st2ndprf  16611  evlfcllem  16626  evlfcl  16627  curf1cl  16633  curf2cl  16636  curfcl  16637  uncf1  16641  uncf2  16642  curfuncf  16643  uncfcurf  16644  diag1cl  16647  diag2cl  16651  curf2ndf  16652  yon1cl  16668  oyon1cl  16676  yonedalem1  16677  yonedalem21  16678  yonedalem3a  16679  yonedalem4c  16682  yonedalem22  16683  yonedalem3b  16684  yonedalem3  16685  yonedainv  16686  yonffthlem  16687  yoniso  16690
  Copyright terms: Public domain W3C validator