MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relin01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relin01 10401
Description: An interval law for less than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
relin01 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem relin01
StepHypRef Expression
1 1re 9895 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 letric 9988 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴))
31, 2mpan2 702 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴))
4 0re 9896 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
5 letric 9988 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
64, 5mpan2 702 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
7 pm3.21 462 . . . . . 6 (𝐴 ≤ 1 → (0 ≤ 𝐴 → (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)))
87orim2d 880 . . . . 5 (𝐴 ≤ 1 → ((𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))))
96, 8syl5com 31 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 1 → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))))
109orim1d 879 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 1 ∨ 1 ≤ 𝐴) → ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴)))
113, 10mpd 15 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴))
12 df-3or 1031 . 2 ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) ∨ 1 ≤ 𝐴))
1311, 12sylibr 222 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 381  wa 382  w3o 1029  wcel 1976   class class class wbr 4577  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793  cle 9931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936
This theorem is referenced by:  colinearalglem4  25507
  Copyright terms: Public domain W3C validator