Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rellysconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rellysconn 31218
Description: The real numbers are locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
rellysconn (topGen‘ran (,)) ∈ Locally SConn

Proof of Theorem rellysconn
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retop 22559 . 2 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2 tg2 20763 . . . 4 ((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦𝑧𝑧𝑥))
3 retopbas 22558 . . . . . . . . . 10 ran (,) ∈ TopBases
4 bastg 20764 . . . . . . . . . 10 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
6 simprl 794 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → 𝑧 ∈ ran (,))
75, 6sseldi 3599 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → 𝑧 ∈ (topGen‘ran (,)))
8 simprrr 805 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → 𝑧𝑥)
9 selpw 4163 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑥𝑧𝑥)
108, 9sylibr 224 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑥)
117, 10elind 3796 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → 𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥))
12 simprrl 804 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → 𝑦𝑧)
13 ioof 12268 . . . . . . . . . 10 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
14 ffn 6043 . . . . . . . . . 10 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
15 ovelrn 6807 . . . . . . . . . 10 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏)))
1613, 14, 15mp2b 10 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏))
17 oveq2 6655 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)))
18 ioosconn 31214 . . . . . . . . . . . 12 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ SConn
1917, 18syl6eqel 2708 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
2019rexlimivw 3027 . . . . . . . . . 10 (∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
2120rexlimivw 3027 . . . . . . . . 9 (∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
2216, 21sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ran (,) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
2322ad2antrl 764 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
2411, 12, 23jca32 558 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → (𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ (𝑦𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)))
2524ex 450 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥)) → (𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ (𝑦𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn))))
2625reximdv2 3013 . . . 4 ((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) → (∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦𝑧𝑧𝑥) → ∃𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)))
272, 26mpd 15 . . 3 ((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) → ∃𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn))
2827rgen2 2974 . 2 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑦𝑥𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
29 islly 21265 . 2 ((topGen‘ran (,)) ∈ Locally SConn ↔ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑦𝑥𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)))
301, 28, 29mpbir2an 955 1 (topGen‘ran (,)) ∈ Locally SConn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wral 2911  wrex 2912  cin 3571  wss 3572  𝒫 cpw 4156   × cxp 5110  ran crn 5113   Fn wfn 5881  wf 5882  cfv 5886  (class class class)co 6647  cr 9932  *cxr 10070  (,)cioo 12172  t crest 16075  topGenctg 16092  Topctop 20692  TopBasesctb 20743  Locally clly 21261  SConncsconn 31187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011  ax-addf 10012  ax-mulf 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-of 6894  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-supp 7293  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-ixp 7906  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-fsupp 8273  df-fi 8314  df-sup 8345  df-inf 8346  df-oi 8412  df-card 8762  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-q 11786  df-rp 11830  df-xneg 11943  df-xadd 11944  df-xmul 11945  df-ioo 12176  df-ico 12178  df-icc 12179  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-seq 12797  df-exp 12856  df-hash 13113  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-starv 15950  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-unif 15959  df-hom 15960  df-cco 15961  df-rest 16077  df-topn 16078  df-0g 16096  df-gsum 16097  df-topgen 16098  df-pt 16099  df-prds 16102  df-xrs 16156  df-qtop 16161  df-imas 16162  df-xps 16164  df-mre 16240  df-mrc 16241  df-acs 16243  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-submnd 17330  df-mulg 17535  df-cntz 17744  df-cmn 18189  df-psmet 19732  df-xmet 19733  df-met 19734  df-bl 19735  df-mopn 19736  df-cnfld 19741  df-top 20693  df-topon 20710  df-topsp 20731  df-bases 20744  df-cld 20817  df-cn 21025  df-cnp 21026  df-conn 21209  df-lly 21263  df-tx 21359  df-hmeo 21552  df-xms 22119  df-ms 22120  df-tms 22121  df-ii 22674  df-htpy 22763  df-phtpy 22764  df-phtpc 22785  df-pconn 31188  df-sconn 31189
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator