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Theorem relowlssretop 32843
Description: The lower limit topology on the reals is finer than the standard topology. (Contributed by ML, 1-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
relowlssretop.1 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
relowlssretop (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼)

Proof of Theorem relowlssretop
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑜 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 12213 . . . . . 6 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2 ffn 6002 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3 ovelrn 6763 . . . . . 6 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑜 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑜 = (𝑎(,)𝑏)))
41, 2, 3mp2b 10 . . . . 5 (𝑜 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑜 = (𝑎(,)𝑏))
5 elxr 11894 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℝ* ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∨ 𝑏 = +∞ ∨ 𝑏 = -∞))
6 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
7 elioore 12147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑥 ∈ ℝ)
86, 7anim12ci 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
9 relowlssretop.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
109icoreelrn 32841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} ∈ 𝐼)
118, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} ∈ 𝐼)
127adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ ℝ)
137leidd 10538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑥𝑥)
1413adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥𝑥)
156rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ*)
16 elioo1 12157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)))
1715, 16syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)))
1817biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ ℝ*𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏))
1918simp3d 1073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 < 𝑏)
20 rexr 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
21203anim1i 1246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑥𝑥 < 𝑏) → (𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝑥𝑥 < 𝑏))
22 rexr 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℝ*)
23 elico1 12160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝑥𝑥 < 𝑏)))
2420, 22, 23syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝑥𝑥 < 𝑏)))
2524biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝑥𝑥 < 𝑏) → 𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏)))
268, 21, 25syl2im 40 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑥𝑥 < 𝑏) → 𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏)))
27 icoreval 32833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑥[,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)})
288, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥[,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)})
2928eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)}))
3026, 29sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑥𝑥 < 𝑏) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)}))
3112, 14, 19, 30mp3and 1424 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)})
32 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏))
33 nfrab1 3111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)}
34 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧(𝑎(,)𝑏)
35 iooval 12141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑎(,)𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)})
3635eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)}))
3736anbi1d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)}) ↔ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)})))
3837pm5.32i 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)})) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)})))
39 rabid 3106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)} ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)))
40 rabid 3106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)))
4139, 40anbi12i 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)}) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏))))
42 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)) → 𝑧 ∈ ℝ)
4342rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
4443ad2antll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 ∈ ℝ*)
45 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4645, 43anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏))) → (𝑥 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*))
4746anim2i 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*)))
48 3anass 1040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ↔ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*)))
4947, 48sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*))
50 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) → 𝑎 < 𝑥)
51 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)) → 𝑥𝑧)
5250, 51anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏))) → (𝑎 < 𝑥𝑥𝑧))
5352adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎 < 𝑥𝑥𝑧))
54 xrltletr 11932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑎 < 𝑥𝑥𝑧) → 𝑎 < 𝑧))
5549, 53, 54sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)))) → 𝑎 < 𝑧)
56 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)) → 𝑧 < 𝑏)
5756ad2antll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 < 𝑏)
5855, 57jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎 < 𝑧𝑧 < 𝑏))
59 rabid 3106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑧𝑧 < 𝑏)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑧𝑧 < 𝑏)))
6044, 58, 59sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑧𝑧 < 𝑏)})
6160adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑧𝑧 < 𝑏)})
62 iooval 12141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑎(,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑧𝑧 < 𝑏)})
6362adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎(,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑧𝑧 < 𝑏)})
6461, 63eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝑏))
6541, 64sylan2b 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)})) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝑏))
6638, 65sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)})) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝑏))
6766expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝑏)))
6832, 33, 34, 67ssrd 3588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏))
6922, 68sylanl2 682 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏))
70 eleq2 2687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} → (𝑥𝑖𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)}))
71 sseq1 3605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} → (𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏) ↔ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
7270, 71anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} → ((𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
7372rspcev 3295 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} ∈ 𝐼 ∧ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏))) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
7411, 31, 69, 73syl12anc 1321 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
7574ancom1s 846 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
7675expl 647 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℝ → ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
777adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ ℝ)
78 peano2re 10153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
809icoreelrn 32841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∈ 𝐼)
8177, 79, 80syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∈ 𝐼)
82 elioore 12147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
8382adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8483leidd 10538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑥𝑥)
8583ltp1d 10898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑥 < (𝑥 + 1))
8683, 84, 85jca32 557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑥𝑥 < (𝑥 + 1))))
87 breq2 4617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = 𝑥 → (𝑥𝑧𝑥𝑥))
88 breq1 4616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ 𝑥 < (𝑥 + 1)))
8987, 88anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑥𝑥𝑥 < (𝑥 + 1))))
9089elrab 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑥𝑥 < (𝑥 + 1))))
9186, 90sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))})
92 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧(𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞))
93 nfrab1 3111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))}
94 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧(𝑎(,)+∞)
95 rabid 3106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))))
96 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
97 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑎 ∈ ℝ*)
9883adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
9998rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
10096rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ*)
101 elioopnf 12209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑥)))
102101simplbda 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑎 < 𝑥)
103102adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑎 < 𝑥)
104 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))) → 𝑥𝑧)
105104adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑥𝑧)
10697, 99, 100, 103, 105xrltletrd 11936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑎 < 𝑧)
107 elioopnf 12209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 ∈ ℝ* → (𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑧)))
108107biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 ∈ ℝ* → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
109108adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
110109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1)))) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
11196, 106, 110mp2and 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞))
112111ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
11395, 112syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
11492, 93, 94, 113ssrd 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞))
11591, 114jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞)))
116 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = +∞ → (𝑎(,)𝑏) = (𝑎(,)+∞))
117116eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = +∞ → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)))
118117anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = +∞ → ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ↔ (𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞))))
119116sseq2d 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = +∞ → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏) ↔ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞)))
120119anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = +∞ → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏)) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞))))
121118, 120imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = +∞ → (((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏))) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞)))))
122115, 121mpbiri 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = +∞ → ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
123122impl 649 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 = +∞ ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
124123ancom1s 846 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
125 eleq2 2687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} → (𝑥𝑖𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))}))
126 sseq1 3605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} → (𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏) ↔ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
127125, 126anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} → ((𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
128127rspcev 3295 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∈ 𝐼 ∧ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏))) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
12981, 124, 128syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
130129ancom1s 846 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 = +∞ ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
131130expl 647 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = +∞ → ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
1327adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ ℝ)
133 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = -∞ → (𝑎(,)𝑏) = (𝑎(,)-∞))
134133eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = -∞ → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞)))
135134adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = -∞) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞)))
136135pm5.32i 668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞)))
137 nltmnf 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ 𝑥 < -∞)
138137intnand 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ (𝑎 < 𝑥𝑥 < -∞))
139 eliooord 12175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞) → (𝑎 < 𝑥𝑥 < -∞))
140138, 139nsyl 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞))
141140pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞) → ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = -∞) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))))
142141impd 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞) ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = -∞)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
143142ancomsd 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* → (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
144136, 143syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ* → (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
14520, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
146132, 145mpcom 38 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
147146ancom1s 846 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 = -∞ ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
148147expl 647 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = -∞ → ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
14976, 131, 1483jaoi 1388 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℝ ∨ 𝑏 = +∞ ∨ 𝑏 = -∞) → ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
1505, 149sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℝ* → ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
151150expdimp 453 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
152151ancoms 469 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
153 eleq2 2687 . . . . . . . 8 (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥𝑜𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)))
154 sseq2 3606 . . . . . . . . . 10 (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑖𝑜𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
155154anbi2d 739 . . . . . . . . 9 (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥𝑖𝑖𝑜) ↔ (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
156155rexbidv 3045 . . . . . . . 8 (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖𝑜) ↔ ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
157153, 156imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥𝑜 → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖𝑜)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))))
158152, 157syl5ibrcom 237 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥𝑜 → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖𝑜))))
159158rexlimivv 3029 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥𝑜 → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖𝑜)))
1604, 159sylbi 207 . . . 4 (𝑜 ∈ ran (,) → (𝑥𝑜 → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖𝑜)))
161160rgen 2917 . . 3 𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜 → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖𝑜))
162161rgenw 2919 . 2 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜 → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖𝑜))
163 iooex 12140 . . . . 5 (,) ∈ V
164163rnex 7047 . . . 4 ran (,) ∈ V
165 unirnioo 12215 . . . . 5 ℝ = ran (,)
1669icoreunrn 32839 . . . . 5 ℝ = 𝐼
167165, 166eqtr3i 2645 . . . 4 ran (,) = 𝐼
168 tgss2 20702 . . . 4 ((ran (,) ∈ V ∧ ran (,) = 𝐼) → ((topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼) ↔ ∀𝑥 ran (,)∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜 → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖𝑜))))
169164, 167, 168mp2an 707 . . 3 ((topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼) ↔ ∀𝑥 ran (,)∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜 → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖𝑜)))
170165raleqi 3131 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜 → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖𝑜)) ↔ ∀𝑥 ran (,)∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜 → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖𝑜)))
171169, 170bitr4i 267 . 2 ((topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜 → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖𝑜)))
172162, 171mpbir 221 1 (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3o 1035  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186  wss 3555  𝒫 cpw 4130   cuni 4402   class class class wbr 4613   × cxp 5072  ran crn 5075  cima 5077   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  1c1 9881   + caddc 9883  +∞cpnf 10015  -∞cmnf 10016  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  (,)cioo 12117  [,)cico 12119  topGenctg 16019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-topgen 16025
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