Theorem renegcl 10941

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4521 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 10939, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 10870	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2895	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 10633	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4532	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 10939	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4521	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  ifcif 4465  ℝcr 10528  1c1 10530  -cneg 10863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-sub 10864  df-neg 10865

This theorem is referenced by:  resubcl  10942  negreb  10943  renegcld  11059  negn0  11061  negf1o  11062  ltnegcon1  11133  ltnegcon2  11134  lenegcon1  11136  lenegcon2  11137  mullt0  11151  mulge0b  11502  mulle0b  11503  negfi  11581  fiminreOLD  11582  infm3lem  11591  infm3  11592  riotaneg  11612  elnnz  11983  btwnz  12076  ublbneg  12325  supminf  12327  uzwo3  12335  zmax  12337  rebtwnz  12339  rpneg  12413  negelrp  12414  max0sub  12581  xnegcl  12598  xnegneg  12599  xltnegi  12601  rexsub  12618  xnegid  12623  xnegdi  12633  xpncan  12636  xnpcan  12637  xadddi  12680  iooneg  12849  iccneg  12850  icoshftf1o  12852  dfceil2  13201  ceicl  13203  ceige  13205  ceim1l  13207  negmod0  13238  negmod  13276  addmodlteq  13306  crim  14466  cnpart  14591  sqrtneglem  14618  absnid  14650  max0add  14662  absdiflt  14669  absdifle  14670  sqreulem  14711  resinhcl  15501  rpcoshcl  15502  tanhlt1  15505  tanhbnd  15506  remulg  20743  resubdrg  20744  cnheiborlem  23550  evth2  23556  ismbf3d  24247  mbfinf  24258  itgconst  24411  reeff1o  25027  atanbnd  25496  sgnneg  31791  ltflcei  34872  cos2h  34875  iblabsnclem  34947  ftc1anclem1  34959  areacirclem2  34975  areacirclem3  34976  areacirc  34979  mulltgt0  41269  rexabslelem  41681  xnegrecl  41701  supminfrnmpt  41708  supminfxr  41729  limsupre  41911  climinf3  41986  liminfreuzlem  42072  stoweidlem10  42285  etransclem46  42555  smfinflem  43081  line2  44729