MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renegcl 10195
Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4088 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 10193, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
renegcl (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl
StepHypRef Expression
1 negeq 10124 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
21eleq1d 2671 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3 1re 9895 . . . 4 1 ∈ ℝ
43elimel 4099 . . 3 if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
54renegcli 10193 . 2 -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
62, 5dedth 4088 1 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  ifcif 4035  cr 9791  1c1 9793  -cneg 10118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-ltxr 9935  df-sub 10119  df-neg 10120
This theorem is referenced by:  resubcl  10196  negreb  10197  renegcld  10308  negn0  10310  negf1o  10311  ltnegcon1  10380  ltnegcon2  10381  lenegcon1  10383  lenegcon2  10384  mullt0  10398  mulge0b  10744  mulle0b  10745  negfi  10822  fiminre  10823  infm3lem  10832  infm3  10833  riotaneg  10851  elnnz  11222  btwnz  11313  ublbneg  11607  supminf  11609  uzwo3  11617  zmax  11619  rebtwnz  11621  rpneg  11697  negelrp  11698  max0sub  11862  xnegcl  11879  xnegneg  11880  xltnegi  11882  rexsub  11899  xnegid  11903  xnegdi  11909  xpncan  11912  xnpcan  11913  xadddi  11956  iooneg  12121  iccneg  12122  icoshftf1o  12124  dfceil2  12459  ceicl  12461  ceige  12463  ceim1l  12465  negmod0  12496  negmod  12534  addmodlteq  12564  crim  13651  cnpart  13776  sqrtneglem  13803  absnid  13834  max0add  13846  absdiflt  13853  absdifle  13854  sqreulem  13895  resinhcl  14673  rpcoshcl  14674  tanhlt1  14677  tanhbnd  14678  remulg  19719  resubdrg  19720  cnheiborlem  22508  evth2  22514  ismbf3d  23171  mbfinf  23182  itgconst  23335  reeff1o  23949  atanbnd  24397  sgnneg  29722  ltflcei  32350  cos2h  32353  iblabsnclem  32426  ftc1anclem1  32438  areacirclem2  32454  areacirclem3  32455  areacirc  32458  mulltgt0  37987  limsupre  38491  stoweidlem10  38686  etransclem46  38956
  Copyright terms: Public domain W3C validator