Theorem renegcl 5399

Description: Closure law for negative of reals.

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ A ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ -A ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. . . 4 ⊢ A ∈ ℝ
2		axrnegex 5266	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℝ → ∃x ∈ ℝ (A + x) = 0)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 ⊢ ∃x ∈ ℝ (A + x) = 0
4		df-rex 1648	. . 3 ⊢ (∃x ∈ ℝ (A + x) = 0 ↔ ∃x(x ∈ ℝ ⋀ (A + x) = 0))
5	3, 4	mpbi 189	. 2 ⊢ ∃x(x ∈ ℝ ⋀ (A + x) = 0)
6		recnt 5296	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℝ → x ∈ ℂ)
7		0cn 5311	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
8	1	recn 5297	. . . . . . . 8 ⊢ A ∈ ℂ
9		subaddt 5358	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℂ ⋀ x ∈ ℂ) → ((0 − A) = x ↔ (A + x) = 0))
10	7, 8, 9	mp3an12 905	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℂ → ((0 − A) = x ↔ (A + x) = 0))
11	6, 10	syl 10	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℝ → ((0 − A) = x ↔ (A + x) = 0))
12		df-neg 5341	. . . . . . 7 ⊢ -A = (0 − A)
13	12	eqeq1i 1480	. . . . . 6 ⊢ (-A = x ↔ (0 − A) = x)
14	11, 13	syl5bb 531	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℝ → (-A = x ↔ (A + x) = 0))
15		eleq1a 1541	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℝ → (-A = x → -A ∈ ℝ))
16	14, 15	sylbird 205	. . . 4 ⊢ (x ∈ ℝ → ((A + x) = 0 → -A ∈ ℝ))
17	16	imp 350	. . 3 ⊢ ((x ∈ ℝ ⋀ (A + x) = 0) → -A ∈ ℝ)
18	17	19.23aiv 1294	. 2 ⊢ (∃x(x ∈ ℝ ⋀ (A + x) = 0) → -A ∈ ℝ)
19	5, 18	ax-mp 7	1 ⊢ -A ∈ ℝ

Syntax hints:   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 955   ∈ wcel 957  ∃wex 979  ∃wrex 1644  (class class class)co 3958  ℂcc 5215  ℝcr 5216  0cc0 5217   + caddc 5220   − cmin 5275  -cneg 5276

This theorem is referenced by:  renegclt 5420  ltsubadd 5578  ltneg 5587  leneg 5588  ltnegcon2 5589  lesub0 5596  msqgt0 5597  recgt0i 5780  prodge0 5786  elnnz1 6112  icoshftf1oi 6355  bernneq 6597  discrlem1 6601  discrlem3 6603  sqrlem11 6628  inelr 6680  crulem 6681  crrecz 6687  nthruz 6692  cjcj 6728  recj 6732  imcj 6733  reneg 6744  imneg 6746  abslt 6825  absle 6826  absltOLD 6827  absleOLD 6828  infcvglem1 7173  infcvglem2 7174  infcvglem3 7175  dsupivthlem 7243  efgt0 7362  eflegeolem2 7371  sincos2sgn 7439  znnen 7462  ipid 8325  ipasslem10 8458  minveclem12 8515  pilem1 8625  pilem2 8626  pilem3 8627  efifolem1 8672  efifolem4 8675  efifolem5 8676  eff1o 8703  resslogrn 8708  pilog 8723  hisubcom 8925  normlem2 8932  normlem9 8939  projlem5 9145  projlem8 9148  projlem11 9151  projlem13 9153  projlem15 9155  hmopdt 9903

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-sub 5339  df-neg 5341

Copyright terms: Public domain