Theorem renegclALT 33267

Description: Closure law for negative of reals. Demonstrates use of weak deduction theorem with explicit substitution. The proof is much longer than that of renegcl 10223. (Contributed by NM, 15-Jun-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegclALT	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegclALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 10152	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → -𝑥 = -𝐴)
2	1	eleq1d 2672	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (-𝑥 ∈ ℝ ↔ -𝐴 ∈ ℝ))
3		vex 3176	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		c0ex 9913	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
5	3, 4	ifex 4106	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V
6		csbnegg 10157	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V → ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 = -⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 = -⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥
8		csbvarg 3955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ V → ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 = 0)
9	4, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 = 0
10		0re 9919	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
11	9, 10	eqeltri 2684	. . . . . . . . 9 ⊢ ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ
12		sbcel1g 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ V → ([0 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ))
13	4, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ([0 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ)
14	11, 13	mpbir 220	. . . . . . . 8 ⊢ [0 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ
15	14	elimhyps 33265	. . . . . . 7 ⊢ [if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ
16		sbcel1g 3939	. . . . . . . 8 ⊢ (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V → ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ))
17	5, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ)
18	15, 17	mpbi 219	. . . . . 6 ⊢ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ
19	18	renegcli 10221	. . . . 5 ⊢ -⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ
20	7, 19	eqeltri 2684	. . . 4 ⊢ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 ∈ ℝ
21		sbcel1g 3939	. . . . 5 ⊢ (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V → ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]-𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 ∈ ℝ))
22	5, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]-𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 ∈ ℝ)
23	20, 22	mpbir 220	. . 3 ⊢ [if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]-𝑥 ∈ ℝ
24	23	dedths 33266	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
25	2, 24	vtoclga 3245	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  [wsbc 3402  ⦋csb 3499  ifcif 4036  ℝcr 9814  0cc0 9815  -cneg 10146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148

This theorem is referenced by: (None)