Theorem renegclALT 34567

Description: Closure law for negative of reals. Demonstrates use of weak deduction theorem with explicit substitution. The proof is much longer than that of renegcl 10382. (Contributed by NM, 15-Jun-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegclALT	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegclALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 10311	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → -𝑥 = -𝐴)
2	1	eleq1d 2715	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (-𝑥 ∈ ℝ ↔ -𝐴 ∈ ℝ))
3		vex 3234	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		c0ex 10072	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
5	3, 4	ifex 4189	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V
6		csbnegg 10316	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V → ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 = -⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 = -⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥
8		csbvarg 4036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ V → ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 = 0)
9	4, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 = 0
10		0re 10078	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
11	9, 10	eqeltri 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ
12		sbcel1g 4020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ V → ([0 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ))
13	4, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ([0 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ)
14	11, 13	mpbir 221	. . . . . . . 8 ⊢ [0 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ
15	14	elimhyps 34565	. . . . . . 7 ⊢ [if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ
16		sbcel1g 4020	. . . . . . . 8 ⊢ (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V → ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ))
17	5, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ)
18	15, 17	mpbi 220	. . . . . 6 ⊢ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ
19	18	renegcli 10380	. . . . 5 ⊢ -⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ
20	7, 19	eqeltri 2726	. . . 4 ⊢ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 ∈ ℝ
21		sbcel1g 4020	. . . . 5 ⊢ (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V → ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]-𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 ∈ ℝ))
22	5, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]-𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 ∈ ℝ)
23	20, 22	mpbir 221	. . 3 ⊢ [if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]-𝑥 ∈ ℝ
24	23	dedths 34566	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
25	2, 24	vtoclga 3303	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  [wsbc 3468  ⦋csb 3566  ifcif 4119  ℝcr 9973  0cc0 9974  -cneg 10305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307

This theorem is referenced by: (None)