MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renegcli 10190
Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 10192 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
renegcl.1 𝐴 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
renegcli -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 ax-rnegex 9860 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3 recn 9879 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4 df-neg 10117 . . . . . . 7 -𝐴 = (0 − 𝐴)
54eqeq1i 2611 . . . . . 6 (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6 0cn 9885 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
71recni 9905 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
8 subadd 10132 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
96, 7, 8mp3an12 1405 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
105, 9syl5bb 270 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
113, 10syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12 eleq1a 2679 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
1311, 12sylbird 248 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
1413rexlimiv 3005 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
151, 2, 14mp2b 10 1 -𝐴 ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2893  (class class class)co 6524  cc 9787  cr 9788  0cc0 9789   + caddc 9792  cmin 10114  -cneg 10115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-ltxr 9932  df-sub 10116  df-neg 10117
This theorem is referenced by:  resubcli  10191  renegcl  10192  recgt0ii  10775  inelr  10854  cju  10860  neg1rr  10969  sincos2sgn  14706  dvdslelem  14812  divalglem1  14898  divalglem6  14902  modsubi  15557  neghalfpire  23935  coseq0negpitopi  23973  pige3  23987  negpitopissre  24004  eff1o  24013  ellogrn  24024  logimclad  24037  logneg  24052  logcj  24070  argregt0  24074  argrege0  24075  argimgt0  24076  argimlt0  24077  logimul  24078  logneg2  24079  logcnlem3  24104  dvloglem  24108  logf1o2  24110  efopnlem2  24117  cxpsqrtlem  24162  abscxpbnd  24208  logreclem  24214  ang180lem2  24254  asinneg  24327  asinsin  24333  asin1  24335  asinrecl  24343  atanlogaddlem  24354  atanlogsublem  24356  atanlogsub  24357  atantan  24364  atanbndlem  24366  birthday  24395  ppiub  24643  lgsdir2lem1  24764  ex-fl  26459  ex-ceil  26460  normlem2  27155  logi  30676  bj-pinftyccb  32085  bj-minftyccb  32089  bj-pinftynminfty  32091  cos2h  32370  tan2h  32371  renegclALT  33067  fourierdlem5  38806  fourierdlem9  38810  fourierdlem18  38819  fourierdlem24  38825  fourierdlem38  38839  fourierdlem40  38841  fourierdlem43  38844  fourierdlem44  38845  fourierdlem46  38846  fourierdlem50  38850  fourierdlem62  38862  fourierdlem66  38866  fourierdlem74  38874  fourierdlem75  38875  fourierdlem76  38876  fourierdlem77  38877  fourierdlem78  38878  fourierdlem83  38883  fourierdlem85  38885  fourierdlem87  38887  fourierdlem88  38888  fourierdlem93  38893  fourierdlem94  38894  fourierdlem95  38895  fourierdlem101  38901  fourierdlem102  38902  fourierdlem103  38903  fourierdlem104  38904  fourierdlem111  38911  fourierdlem112  38912  fourierdlem113  38913  fourierdlem114  38914  sqwvfoura  38922  sqwvfourb  38923  fouriersw  38925  fouriercn  38926
  Copyright terms: Public domain W3C validator