MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renegcli 10302
Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 10304 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
renegcl.1 𝐴 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
renegcli -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 ax-rnegex 9967 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3 recn 9986 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4 df-neg 10229 . . . . . . 7 -𝐴 = (0 − 𝐴)
54eqeq1i 2626 . . . . . 6 (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6 0cn 9992 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
71recni 10012 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
8 subadd 10244 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
96, 7, 8mp3an12 1411 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
105, 9syl5bb 272 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
113, 10syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12 eleq1a 2693 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
1311, 12sylbird 250 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
1413rexlimiv 3022 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
151, 2, 14mp2b 10 1 -𝐴 ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2909  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896   + caddc 9899  cmin 10226  -cneg 10227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-ltxr 10039  df-sub 10228  df-neg 10229
This theorem is referenced by:  resubcli  10303  renegcl  10304  recgt0ii  10889  inelr  10970  cju  10976  neg1rr  11085  sincos2sgn  14868  dvdslelem  14974  divalglem1  15060  divalglem6  15064  modsubi  15719  neghalfpire  24155  coseq0negpitopi  24193  pige3  24207  negpitopissre  24224  eff1o  24233  ellogrn  24244  logimclad  24257  logneg  24272  logcj  24290  argregt0  24294  argrege0  24295  argimgt0  24296  argimlt0  24297  logimul  24298  logneg2  24299  logcnlem3  24324  dvloglem  24328  logf1o2  24330  efopnlem2  24337  cxpsqrtlem  24382  abscxpbnd  24428  logreclem  24434  ang180lem2  24474  asinneg  24547  asinsin  24553  asin1  24555  asinrecl  24563  atanlogaddlem  24574  atanlogsublem  24576  atanlogsub  24577  atantan  24584  atanbndlem  24586  birthday  24615  ppiub  24863  lgsdir2lem1  24984  ex-fl  27192  ex-ceil  27193  normlem2  27856  logi  31381  bj-pinftyccb  32780  bj-minftyccb  32784  bj-pinftynminfty  32786  cos2h  33071  tan2h  33072  renegclALT  33768  fourierdlem5  39666  fourierdlem9  39670  fourierdlem18  39679  fourierdlem24  39685  fourierdlem38  39699  fourierdlem40  39701  fourierdlem43  39704  fourierdlem44  39705  fourierdlem46  39706  fourierdlem50  39710  fourierdlem62  39722  fourierdlem66  39726  fourierdlem74  39734  fourierdlem75  39735  fourierdlem76  39736  fourierdlem77  39737  fourierdlem78  39738  fourierdlem83  39743  fourierdlem85  39745  fourierdlem87  39747  fourierdlem88  39748  fourierdlem93  39753  fourierdlem94  39754  fourierdlem95  39755  fourierdlem101  39761  fourierdlem102  39762  fourierdlem103  39763  fourierdlem104  39764  fourierdlem111  39771  fourierdlem112  39772  fourierdlem113  39773  fourierdlem114  39774  sqwvfoura  39782  sqwvfourb  39783  fouriersw  39785  fouriercn  39786
  Copyright terms: Public domain W3C validator