MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renegcli 10935
Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 10937 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
renegcl.1 𝐴 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
renegcli -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 ax-rnegex 10596 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3 recn 10615 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4 df-neg 10861 . . . . . . 7 -𝐴 = (0 − 𝐴)
54eqeq1i 2823 . . . . . 6 (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6 0cn 10621 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
71recni 10643 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
8 subadd 10877 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
96, 7, 8mp3an12 1442 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
105, 9syl5bb 284 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
113, 10syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12 eleq1a 2905 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
1311, 12sylbird 261 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
1413rexlimiv 3277 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
151, 2, 14mp2b 10 1 -𝐴 ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525   + caddc 10528  cmin 10858  -cneg 10859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-sub 10860  df-neg 10861
This theorem is referenced by:  resubcli  10936  renegcl  10937  recgt0ii  11534  inelr  11616  cju  11622  neg1rr  11740  sincos2sgn  15535  dvdslelem  15647  divalglem1  15733  divalglem6  15737  modsubi  16396  neghalfpire  24978  coseq0negpitopi  25016  pige3ALT  25032  negpitopissre  25051  eff1o  25060  ellogrn  25070  logimclad  25083  logneg  25098  logcj  25116  argregt0  25120  argrege0  25121  argimgt0  25122  argimlt0  25123  logimul  25124  logneg2  25125  logcnlem3  25154  dvloglem  25158  logf1o2  25160  efopnlem2  25167  cxpsqrtlem  25212  abscxpbnd  25261  logreclem  25267  ang180lem2  25315  asinneg  25391  asinsin  25397  asin1  25399  asinrecl  25407  atanlogaddlem  25418  atanlogsublem  25420  atanlogsub  25421  atantan  25428  atanbndlem  25430  birthday  25459  ppiub  25707  lgsdir2lem1  25828  ex-fl  28153  ex-ceil  28154  normlem2  28815  logdivsqrle  31820  logi  32863  bj-pinftyccb  34395  bj-minftyccb  34399  bj-pinftynminfty  34401  cos2h  34764  tan2h  34765  renegclALT  35979  fourierdlem5  42274  fourierdlem9  42278  fourierdlem18  42287  fourierdlem24  42293  fourierdlem38  42307  fourierdlem40  42309  fourierdlem43  42312  fourierdlem44  42313  fourierdlem46  42314  fourierdlem50  42318  fourierdlem62  42330  fourierdlem66  42334  fourierdlem74  42342  fourierdlem75  42343  fourierdlem76  42344  fourierdlem77  42345  fourierdlem78  42346  fourierdlem83  42351  fourierdlem85  42353  fourierdlem87  42355  fourierdlem88  42356  fourierdlem93  42361  fourierdlem94  42362  fourierdlem95  42363  fourierdlem101  42369  fourierdlem102  42370  fourierdlem103  42371  fourierdlem104  42372  fourierdlem111  42379  fourierdlem112  42380  fourierdlem113  42381  fourierdlem114  42382  sqwvfoura  42390  sqwvfourb  42391  fouriersw  42393  fouriercn  42394
  Copyright terms: Public domain W3C validator