Theorem renegclt 5420

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 2380 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcl 5399, to an antecedent.

Assertion

Ref	Expression
renegclt	⊢ (A ∈ ℝ → -A ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 5342	. . 3 ⊢ (A = if(A ∈ ℝ, A, 1) → -A = - if(A ∈ ℝ, A, 1))
2	1	eleq1d 1538	. 2 ⊢ (A = if(A ∈ ℝ, A, 1) → (-A ∈ ℝ ↔ - if(A ∈ ℝ, A, 1) ∈ ℝ))
3		1re 5418	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 2391	. . 3 ⊢ if(A ∈ ℝ, A, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcl 5399	. 2 ⊢ - if(A ∈ ℝ, A, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 2380	1 ⊢ (A ∈ ℝ → -A ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 3   = wceq 955   ∈ wcel 957   ifcif 2358  ℝcr 5216  1c1 5218  -cneg 5276

This theorem is referenced by:  resubclt 5421  ltnegcon1t 5639  lenegcon1t 5641  lenegcon2t 5642  lesub1t 5643  lesub2t 5644  ltsub1t 5645  ltsub2t 5646  subge0t 5657  infm3lem 6010  infm3 6011  reuunineg 6023  infmsup 6025  infmrcl 6026  nnnegz 6095  elnnz 6102  elnnz1 6112  zaddclt 6122  btwnz 6173  zmax 6178  rebtwnz 6180  ceiclt 6202  ceiget 6203  ceim1lt 6204  ioonegt 6352  iccnegt 6353  discrlem2 6602  imret 6725  negreb 6745  cj11t 6780  absnidt 6813  absdifltt 6836  absdiflet 6837  climge0 7065  caucvglem2 7111  caucvglem5 7114  infcvgaux1 7171  infcvglem1 7173  dsupivthlem 7243  reeff1o 7385  sin01bndlem3 7428  cos01bndlem3 7430  znnen 7462  readdsubg 8093  nvabs 8265  pilem1 8625  pilem3 8627  shftefif1olem 8696  projlem10 9150

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-sub 5339  df-neg 5341

Copyright terms: Public domain