MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renepnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renepnf 10279
Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
renepnf (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf
StepHypRef Expression
1 pnfnre 10273 . . . 4 +∞ ∉ ℝ
21neli 3037 . . 3 ¬ +∞ ∈ ℝ
3 eleq1 2827 . . 3 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
42, 3mtbiri 316 . 2 (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
54necon2ai 2961 1 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  cr 10127  +∞cpnf 10263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-uni 4589  df-pnf 10268
This theorem is referenced by:  renepnfd  10282  renfdisj  10290  xrnepnf  12145  rexneg  12235  rexadd  12256  xaddnepnf  12261  xaddcom  12264  xaddid1  12265  xnn0xadd0  12270  xnegdi  12271  xpncan  12274  xleadd1a  12276  rexmul  12294  xmulpnf1  12297  xadddilem  12317  rpsup  12859  hashneq0  13347  hash1snb  13399  xrsnsgrp  19984  xaddeq0  29827  icorempt2  33510  ovoliunnfl  33764  voliunnfl  33766  volsupnfl  33767  supxrgelem  40051  supxrge  40052  infleinflem1  40084  infleinflem2  40085  xrre4  40136  supminfxr2  40197  climxrre  40485  sge0repnf  41106  voliunsge0lem  41192
  Copyright terms: Public domain W3C validator