Theorem renepnf 10683

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 10676	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3125	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2900	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 329	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 3045	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ℝcr 10530  +∞cpnf 10666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-uni 4832  df-pnf 10671

This theorem is referenced by:  renepnfd  10686  renfdisj  10695  xrnepnf  12507  rexneg  12598  rexadd  12619  xaddnepnf  12624  xaddcom  12627  xaddid1  12628  xnn0xadd0  12634  xnegdi  12635  xpncan  12638  xleadd1a  12640  rexmul  12658  xmulpnf1  12661  xadddilem  12681  rpsup  13228  hashneq0  13719  hash1snb  13774  xrsnsgrp  20575  xaddeq0  30471  icorempo  34626  ovoliunnfl  34928  voliunnfl  34930  volsupnfl  34931  supxrgelem  41598  supxrge  41599  infleinflem1  41631  infleinflem2  41632  xrre4  41678  supminfxr2  41738  climxrre  42024  sge0repnf  42662  voliunsge0lem  42748