MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renfdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renfdisj 10095
Description: The reals and the infinities are disjoint. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
renfdisj (ℝ ∩ {+∞, -∞}) = ∅

Proof of Theorem renfdisj
StepHypRef Expression
1 disj 4015 . 2 ((ℝ ∩ {+∞, -∞}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ 𝑥 ∈ {+∞, -∞})
2 renepnf 10084 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≠ +∞)
3 renemnf 10085 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≠ -∞)
42, 3nelprd 4201 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → ¬ 𝑥 ∈ {+∞, -∞})
51, 4mprgbir 2926 1 (ℝ ∩ {+∞, -∞}) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1482  wcel 1989  cin 3571  c0 3913  {cpr 4177  cr 9932  +∞cpnf 10068  -∞cmnf 10069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-resscn 9990
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074
This theorem is referenced by:  ssxr  10104
  Copyright terms: Public domain W3C validator