MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rennim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rennim 13913
Description: A real number does not lie on the negative imaginary axis. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
rennim (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)

Proof of Theorem rennim
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9939 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
2 recn 9970 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 mulcl 9964 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
41, 2, 3sylancr 694 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5 rpre 11783 . . . . . . 7 ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
6 rereb 13794 . . . . . . 7 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
75, 6syl5ib 234 . . . . . 6 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
84, 7syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
94addid2d 10181 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (i · 𝐴)) = (i · 𝐴))
109fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = (ℜ‘(i · 𝐴)))
11 0re 9984 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
12 crre 13788 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = 0)
1311, 12mpan 705 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = 0)
1410, 13eqtr3d 2657 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = 0)
1514eqeq1d 2623 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴) ↔ 0 = (i · 𝐴)))
168, 15sylibd 229 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → 0 = (i · 𝐴)))
17 rpne0 11792 . . . . . 6 ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ≠ 0)
1817necon2bi 2820 . . . . 5 ((i · 𝐴) = 0 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
1918eqcoms 2629 . . . 4 (0 = (i · 𝐴) → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
2016, 19syl6 35 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+))
2120pm2.01d 181 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
22 df-nel 2894 . 2 ((i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
2321, 22sylibr 224 1 (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  wnel 2893  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  ici 9882   + caddc 9883   · cmul 9885  +crp 11776  cre 13771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-2 11023  df-rp 11777  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775
This theorem is referenced by:  sqr0lem  13915  resqreu  13927  resqrtcl  13928
  Copyright terms: Public domain W3C validator