Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reofld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reofld 29814
Description: The real numbers form an ordered field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
reofld fld ∈ oField

Proof of Theorem reofld
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 refld 19946 . 2 fld ∈ Field
2 isfld 18737 . . . . 5 (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
32simplbi 476 . . . 4 (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ DivRing)
4 drngring 18735 . . . 4 (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
51, 3, 4mp2b 10 . . 3 fld ∈ Ring
6 ringgrp 18533 . . . . 5 (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Grp)
75, 6ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Grp
8 grpmnd 17410 . . . . . 6 (ℝfld ∈ Grp → ℝfld ∈ Mnd)
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 fld ∈ Mnd
10 retos 19945 . . . . 5 fld ∈ Toset
11 simpl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ)
12 simpr1 1065 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
13 simpr2 1066 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑐 ∈ ℝ)
14 simpr3 1067 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑏)
1511, 12, 13, 14leadd1dd 10626 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
16153anassrs 1288 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑎𝑏) → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
1716ex 450 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑎𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐)))
18173impa 1257 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑎𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐)))
1918rgen3 2973 . . . . 5 𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ (𝑎𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
20 rebase 19933 . . . . . 6 ℝ = (Base‘ℝfld)
21 replusg 19937 . . . . . 6 + = (+g‘ℝfld)
22 rele2 19941 . . . . . 6 ≤ = (le‘ℝfld)
2320, 21, 22isomnd 29675 . . . . 5 (ℝfld ∈ oMnd ↔ (ℝfld ∈ Mnd ∧ ℝfld ∈ Toset ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ (𝑎𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))))
249, 10, 19, 23mpbir3an 1242 . . . 4 fld ∈ oMnd
25 isogrp 29676 . . . 4 (ℝfld ∈ oGrp ↔ (ℝfld ∈ Grp ∧ ℝfld ∈ oMnd))
267, 24, 25mpbir2an 954 . . 3 fld ∈ oGrp
27 mulge0 10531 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
2827an4s 868 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
2928ex 450 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏)))
3029rgen2a 2974 . . 3 𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
31 re0g 19939 . . . 4 0 = (0g‘ℝfld)
32 remulr 19938 . . . 4 · = (.r‘ℝfld)
3320, 31, 32, 22isorng 29773 . . 3 (ℝfld ∈ oRing ↔ (ℝfld ∈ Ring ∧ ℝfld ∈ oGrp ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))))
345, 26, 30, 33mpbir3an 1242 . 2 fld ∈ oRing
35 isofld 29776 . 2 (ℝfld ∈ oField ↔ (ℝfld ∈ Field ∧ ℝfld ∈ oRing))
361, 34, 35mpbir2an 954 1 fld ∈ oField
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036  wcel 1988  wral 2909   class class class wbr 4644  (class class class)co 6635  cr 9920  0cc0 9921   + caddc 9924   · cmul 9926  cle 10060  Tosetctos 17014  Mndcmnd 17275  Grpcgrp 17403  Ringcrg 18528  CRingccrg 18529  DivRingcdr 18728  Fieldcfield 18729  fldcrefld 19931  oMndcomnd 29671  oGrpcogrp 29672  oRingcorng 29769  oFieldcofld 29770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-tpos 7337  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-fz 12312  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-0g 16083  df-preset 16909  df-poset 16927  df-plt 16939  df-toset 17015  df-ps 17181  df-tsr 17182  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-subg 17572  df-cmn 18176  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-cring 18531  df-oppr 18604  df-dvdsr 18622  df-unit 18623  df-invr 18653  df-dvr 18664  df-drng 18730  df-field 18731  df-subrg 18759  df-cnfld 19728  df-refld 19932  df-omnd 29673  df-ogrp 29674  df-orng 29771  df-ofld 29772
This theorem is referenced by:  nn0omnd  29815  rearchi  29816  rerrext  30027  cnrrext  30028
  Copyright terms: Public domain W3C validator