Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reofld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reofld 30840
Description: The real numbers form an ordered field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
reofld fld ∈ oField

Proof of Theorem reofld
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 refld 20691 . 2 fld ∈ Field
2 isfld 19440 . . . . 5 (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
32simplbi 498 . . . 4 (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ DivRing)
4 drngring 19438 . . . 4 (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
51, 3, 4mp2b 10 . . 3 fld ∈ Ring
6 ringgrp 19231 . . . . 5 (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Grp)
75, 6ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Grp
8 grpmnd 18048 . . . . . 6 (ℝfld ∈ Grp → ℝfld ∈ Mnd)
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 fld ∈ Mnd
10 retos 20690 . . . . 5 fld ∈ Toset
11 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ)
12 simpr1 1186 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
13 simpr2 1187 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑐 ∈ ℝ)
14 simpr3 1188 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑏)
1511, 12, 13, 14leadd1dd 11242 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
16153anassrs 1352 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑎𝑏) → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
1716ex 413 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑎𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐)))
18173impa 1102 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑎𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐)))
1918rgen3 3201 . . . . 5 𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ (𝑎𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
20 rebase 20678 . . . . . 6 ℝ = (Base‘ℝfld)
21 replusg 20682 . . . . . 6 + = (+g‘ℝfld)
22 rele2 20686 . . . . . 6 ≤ = (le‘ℝfld)
2320, 21, 22isomnd 30629 . . . . 5 (ℝfld ∈ oMnd ↔ (ℝfld ∈ Mnd ∧ ℝfld ∈ Toset ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ (𝑎𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))))
249, 10, 19, 23mpbir3an 1333 . . . 4 fld ∈ oMnd
25 isogrp 30630 . . . 4 (ℝfld ∈ oGrp ↔ (ℝfld ∈ Grp ∧ ℝfld ∈ oMnd))
267, 24, 25mpbir2an 707 . . 3 fld ∈ oGrp
27 mulge0 11146 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
2827an4s 656 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
2928ex 413 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏)))
3029rgen2 3200 . . 3 𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
31 re0g 20684 . . . 4 0 = (0g‘ℝfld)
32 remulr 20683 . . . 4 · = (.r‘ℝfld)
3320, 31, 32, 22isorng 30799 . . 3 (ℝfld ∈ oRing ↔ (ℝfld ∈ Ring ∧ ℝfld ∈ oGrp ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))))
345, 26, 30, 33mpbir3an 1333 . 2 fld ∈ oRing
35 isofld 30802 . 2 (ℝfld ∈ oField ↔ (ℝfld ∈ Field ∧ ℝfld ∈ oRing))
361, 34, 35mpbir2an 707 1 fld ∈ oField
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079  wcel 2105  wral 3135   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525   + caddc 10528   · cmul 10530  cle 10664  Tosetctos 17631  Mndcmnd 17899  Grpcgrp 18041  Ringcrg 19226  CRingccrg 19227  DivRingcdr 19431  Fieldcfield 19432  fldcrefld 20676  oMndcomnd 30625  oGrpcogrp 30626  oRingcorng 30795  oFieldcofld 30796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-0g 16703  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-toset 17632  df-ps 17798  df-tsr 17799  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-subg 18214  df-cmn 18837  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-drng 19433  df-field 19434  df-subrg 19462  df-cnfld 20474  df-refld 20677  df-omnd 30627  df-ogrp 30628  df-orng 30797  df-ofld 30798
This theorem is referenced by:  nn0omnd  30841  rearchi  30842  rerrext  31149  cnrrext  31150
  Copyright terms: Public domain W3C validator