Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  repr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repr0 30996
 Description: There is exactly one representation with no elements (an empty sum), only for 𝑀 = 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
repr0 (𝜑 → (𝐴(repr‘0)𝑀) = if(𝑀 = 0, {∅}, ∅))

Proof of Theorem repr0
Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reprval.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
2 reprval.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 0nn0 11497 . . . 4 0 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
51, 2, 4reprval 30995 . 2 (𝜑 → (𝐴(repr‘0)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀})
6 fzo0 12684 . . . . . . . . 9 (0..^0) = ∅
76sumeq1i 14625 . . . . . . . 8 Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = Σ𝑎 ∈ ∅ (𝑐𝑎)
8 sum0 14649 . . . . . . . 8 Σ𝑎 ∈ ∅ (𝑐𝑎) = 0
97, 8eqtri 2780 . . . . . . 7 Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 0
109eqeq1i 2763 . . . . . 6 𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀 ↔ 0 = 𝑀)
1110a1i 11 . . . . 5 (𝑐 = ∅ → (Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀 ↔ 0 = 𝑀))
12 0ex 4940 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
1312snid 4351 . . . . . . . 8 ∅ ∈ {∅}
14 nnex 11216 . . . . . . . . . . 11 ℕ ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℕ ∈ V)
1615, 1ssexd 4955 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ V)
17 mapdm0 8036 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (𝐴𝑚 ∅) = {∅})
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑚 ∅) = {∅})
1913, 18syl5eleqr 2844 . . . . . . 7 (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴𝑚 ∅))
206oveq2i 6822 . . . . . . 7 (𝐴𝑚 (0..^0)) = (𝐴𝑚 ∅)
2119, 20syl6eleqr 2848 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴𝑚 (0..^0)))
2221adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑀 = 0) → ∅ ∈ (𝐴𝑚 (0..^0)))
23 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
2423eqcomd 2764 . . . . 5 ((𝜑𝑀 = 0) → 0 = 𝑀)
2520, 18syl5eq 2804 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑚 (0..^0)) = {∅})
2625eleq2d 2823 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^0)) ↔ 𝑐 ∈ {∅}))
2726biimpa 502 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^0))) → 𝑐 ∈ {∅})
28 elsni 4336 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ {∅} → 𝑐 = ∅)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^0))) → 𝑐 = ∅)
3029ad4ant13 1207 . . . . 5 ((((𝜑𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^0))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀) → 𝑐 = ∅)
3111, 22, 24, 30rabeqsnd 29647 . . . 4 ((𝜑𝑀 = 0) → {𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀} = {∅})
3231eqcomd 2764 . . 3 ((𝜑𝑀 = 0) → {∅} = {𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀})
339a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^0))) → Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 0)
34 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^0))) → ¬ 𝑀 = 0)
3534neqned 2937 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^0))) → 𝑀 ≠ 0)
3635necomd 2985 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^0))) → 0 ≠ 𝑀)
3733, 36eqnetrd 2997 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^0))) → Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) ≠ 𝑀)
3837neneqd 2935 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^0))) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀)
3938ralrimiva 3102 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → ∀𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^0)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀)
40 rabeq0 4098 . . . . 5 ({𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀} = ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^0)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀)
4139, 40sylibr 224 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → {𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀} = ∅)
4241eqcomd 2764 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → ∅ = {𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀})
4332, 42ifeqda 4263 . 2 (𝜑 → if(𝑀 = 0, {∅}, ∅) = {𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀})
445, 43eqtr4d 2795 1 (𝜑 → (𝐴(repr‘0)𝑀) = if(𝑀 = 0, {∅}, ∅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1630   ∈ wcel 2137  ∀wral 3048  {crab 3052  Vcvv 3338   ⊆ wss 3713  ∅c0 4056  ifcif 4228  {csn 4319  ‘cfv 6047  (class class class)co 6811   ↑𝑚 cmap 8021  0cc0 10126  ℕcn 11210  ℕ0cn0 11482  ℤcz 11567  ..^cfzo 12657  Σcsu 14613  reprcrepr 30993 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-sup 8511  df-oi 8578  df-card 8953  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-rp 12024  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-seq 12994  df-exp 13053  df-hash 13310  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-clim 14416  df-sum 14614  df-repr 30994 This theorem is referenced by:  breprexp  31018
 Copyright terms: Public domain W3C validator