Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reprgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reprgt 31791
Description: There are no representations of more than (𝑆 · 𝑁) with only 𝑆 terms bounded by 𝑁. Remark of [Nathanson] p. 123 (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprgt.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
reprgt.a (𝜑𝐴 ⊆ (1...𝑁))
reprgt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
reprgt.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
reprgt.1 (𝜑 → (𝑆 · 𝑁) < 𝑀)
Assertion
Ref Expression
reprgt (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ∅)

Proof of Theorem reprgt
Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reprgt.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (1...𝑁))
2 fz1ssnn 12926 . . . 4 (1...𝑁) ⊆ ℕ
31, 2sstrdi 3976 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
4 reprgt.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 reprgt.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
63, 4, 5reprval 31780 . 2 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
7 fzofi 13330 . . . . . . . 8 (0..^𝑆) ∈ Fin
87a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
9 nnssre 11630 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ ⊆ ℝ
103, 9sstrdi 3976 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1110ralrimivw 3180 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐴 ⊆ ℝ)
1211ralrimivw 3180 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐴 ⊆ ℝ)
1312r19.21bi 3205 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐴 ⊆ ℝ)
1413r19.21bi 3205 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
15 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑁) ∈ V
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ V)
1716, 1ssexd 5219 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ V)
1817adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝐴 ∈ V)
197elexi 3511 . . . . . . . . . . . 12 (0..^𝑆) ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → (0..^𝑆) ∈ V)
21 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)))
22 elmapg 8408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) → (𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
2322biimpa 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
2418, 20, 21, 23syl21anc 833 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
2524adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
26 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑎 ∈ (0..^𝑆))
2725, 26ffvelrnd 6844 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ 𝐴)
2814, 27sseldd 3965 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ ℝ)
298, 28fsumrecl 15079 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ∈ ℝ)
305nn0red 11944 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
3130adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝑆 ∈ ℝ)
32 reprgt.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3332nn0red 11944 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3433adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝑁 ∈ ℝ)
3531, 34remulcld 10659 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → (𝑆 · 𝑁) ∈ ℝ)
364zred 12075 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
3736adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝑀 ∈ ℝ)
3833ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑁 ∈ ℝ)
391ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ (1...𝑁))
4039, 27sseldd 3965 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ (1...𝑁))
41 elfzle2 12899 . . . . . . . . . 10 ((𝑐𝑎) ∈ (1...𝑁) → (𝑐𝑎) ≤ 𝑁)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ≤ 𝑁)
438, 28, 38, 42fsumle 15142 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁)
4433recnd 10657 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
45 fsumconst 15133 . . . . . . . . . . 11 (((0..^𝑆) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁 = ((♯‘(0..^𝑆)) · 𝑁))
467, 44, 45sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁 = ((♯‘(0..^𝑆)) · 𝑁))
47 hashfzo0 13779 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
485, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
4948oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑆)) · 𝑁) = (𝑆 · 𝑁))
5046, 49eqtrd 2853 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁 = (𝑆 · 𝑁))
5150adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁 = (𝑆 · 𝑁))
5243, 51breqtrd 5083 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ≤ (𝑆 · 𝑁))
53 reprgt.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 · 𝑁) < 𝑀)
5453adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → (𝑆 · 𝑁) < 𝑀)
5529, 35, 37, 52, 54lelttrd 10786 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) < 𝑀)
5629, 55ltned 10764 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ≠ 𝑀)
5756neneqd 3018 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀)
5857ralrimiva 3179 . . 3 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀)
59 rabeq0 4335 . . 3 ({𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀} = ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀)
6058, 59sylibr 235 . 2 (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀} = ∅)
616, 60eqtrd 2853 1 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  {crab 3139  Vcvv 3492  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  Fincfn 8497  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  ...cfz 12880  ..^cfzo 13021  chash 13678  Σcsu 15030  reprcrepr 31778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-repr 31779
This theorem is referenced by:  breprexplemc  31802
  Copyright terms: Public domain W3C validator