Theorem reprlt 31892

Description: There are no representations of 𝑀 with more than 𝑀 terms. Remark of [Nathanson] p. 123 (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprlt.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
reprlt	⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ∅)

Proof of Theorem reprlt

Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reprval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		reprval.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		reprval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	reprval 31883	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
5	2	zred 12090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
6	5	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑀 ∈ ℝ)
7	3	nn0red 11959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
8	7	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑆 ∈ ℝ)
9		fzofi 13345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑆) ∈ Fin
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
11		nnssre 11644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℕ ⊆ ℝ)
13	1, 12	sstrd 3979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
14	13	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
15		nnex 11646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
17	16, 1	ssexd 5230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
18	17	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝐴 ∈ V)
19	9	elexi 3515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^𝑆) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → (0..^𝑆) ∈ V)
21		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
22		elmapg 8421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) → (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
23	22	biimpa 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
24	18, 20, 21, 23	syl21anc 835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
25	24	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
26		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑎 ∈ (0..^𝑆))
27	25, 26	ffvelrnd 6854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ 𝐴)
28	14, 27	sseldd 3970	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ ℝ)
29	10, 28	fsumrecl 15093	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ ℝ)
30		reprlt.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑆)
31	30	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑀 < 𝑆)
32		ax-1cn 10597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
33		fsumconst 15147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((0..^𝑆) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = ((♯‘(0..^𝑆)) · 1))
34	9, 32, 33	mp2an 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = ((♯‘(0..^𝑆)) · 1)
35		hashcl 13720	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0..^𝑆) ∈ Fin → (♯‘(0..^𝑆)) ∈ ℕ0)
36	9, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯‘(0..^𝑆)) ∈ ℕ0
37	36	nn0cni 11912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘(0..^𝑆)) ∈ ℂ
38	37	mulid1i 10647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘(0..^𝑆)) · 1) = (♯‘(0..^𝑆))
39	34, 38	eqtri 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = (♯‘(0..^𝑆))
40		hashfzo0 13794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
41	3, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
42	39, 41	syl5eq 2870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = 𝑆)
43	42	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = 𝑆)
44		1red 10644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 1 ∈ ℝ)
45	1	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
46	45, 27	sseldd 3970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ ℕ)
47		nnge1 11668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐‘𝑎) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑐‘𝑎))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 1 ≤ (𝑐‘𝑎))
49	10, 44, 28, 48	fsumle 15156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
50	43, 49	eqbrtrrd 5092	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑆 ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
51	6, 8, 29, 31, 50	ltletrd 10802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑀 < Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
52	6, 51	ltned 10778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑀 ≠ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
53	52	necomd 3073	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ≠ 𝑀)
54	53	neneqd 3023	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
55	54	ralrimiva 3184	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
56		rabeq0 4340	. . 3 ⊢ ({𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} = ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
57	55, 56	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} = ∅)
58	4, 57	eqtrd 2858	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  {crab 3144  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293   class class class wbr 5068  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ↑_m cmap 8408  Fincfn 8511  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   · cmul 10544   < clt 10677   ≤ cle 10678  ℕcn 11640  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ..^cfzo 13036  ♯chash 13693  Σcsu 15044  reprcrepr 31881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-ico 12747  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-sum 15045  df-repr 31882

This theorem is referenced by:  breprexplemc  31905