Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  repswpfx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repswpfx 40735
 Description: A prefix of a repeated symbol word is a repeated symbol word. (Contributed by AV, 11-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
repswpfx ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑆 repeatS 𝐿))

Proof of Theorem repswpfx
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 repsw 13459 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
213adant3 1079 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
3 repswlen 13460 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
43eqcomd 2627 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))
54oveq2d 6620 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (0...𝑁) = (0...(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))))
65eleq2d 2684 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐿 ∈ (0...(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))
76biimp3a 1429 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝐿 ∈ (0...(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))))
8 pfxlen 40690 . . . 4 (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = 𝐿)
92, 7, 8syl2anc 692 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = 𝐿)
10 elfznn0 12374 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (0...𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ0)
1110anim2i 592 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0))
12113adant2 1078 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0))
13 repswlen 13460 . . . 4 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑆 repeatS 𝐿)) = 𝐿)
1412, 13syl 17 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (#‘(𝑆 repeatS 𝐿)) = 𝐿)
159, 14eqtr4d 2658 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = (#‘(𝑆 repeatS 𝐿)))
16 simpl1 1062 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝑆𝑉)
17 simpl2 1063 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
18 elfzuz3 12281 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐿))
19183ad2ant3 1082 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐿))
209fveq2d 6152 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (ℤ‘(#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) = (ℤ𝐿))
2119, 20eleqtrrd 2701 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))))
22 fzoss2 12437 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘(#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) → (0..^(#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) ⊆ (0..^𝑁))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (0..^(#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) ⊆ (0..^𝑁))
2423sselda 3583 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
25 repswsymb 13458 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑖) = 𝑆)
2616, 17, 24, 25syl3anc 1323 . . . 4 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑖) = 𝑆)
272adantr 481 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
287adantr 481 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝐿 ∈ (0...(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))))
299oveq2d 6620 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (0..^(#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) = (0..^𝐿))
3029eleq2d 2684 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝐿)))
3130biimpa 501 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝐿))
32 pfxfv 40698 . . . . 5 (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝐿)) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑖))
3327, 28, 31, 32syl3anc 1323 . . . 4 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑖))
34103ad2ant3 1082 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
3534adantr 481 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
36 repswsymb 13458 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0𝑖 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖) = 𝑆)
3716, 35, 31, 36syl3anc 1323 . . . 4 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖) = 𝑆)
3826, 33, 373eqtr4d 2665 . . 3 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖))
3938ralrimiva 2960 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))(((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖))
40 pfxcl 40685 . . . 4 ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉 → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
412, 40syl 17 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
42 repsw 13459 . . . 4 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉)
4312, 42syl 17 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉)
44 eqwrd 13285 . . 3 ((((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑆 repeatS 𝐿) ↔ ((#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = (#‘(𝑆 repeatS 𝐿)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))(((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖))))
4541, 43, 44syl2anc 692 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑆 repeatS 𝐿) ↔ ((#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = (#‘(𝑆 repeatS 𝐿)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))(((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖))))
4615, 39, 45mpbir2and 956 1 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑆 repeatS 𝐿))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907   ⊆ wss 3555  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  ℕ0cn0 11236  ℤ≥cuz 11631  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   repeatS creps 13237   prefix cpfx 40680 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-substr 13242  df-reps 13245  df-pfx 40681 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator