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Theorem repswswrd 13512
Description: A subword of a "repeated symbol word" is again a "repeated symbol word". The assumption N <_ L is required, because otherwise ( L < N ): ((𝑆 repeatS 𝐿) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ∅, but for M < N (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))) ≠ ∅! The proof is relatively long because the border cases (𝑀 = 𝑁, ¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) must have been considered. (Contributed by AV, 6-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repswswrd (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑆 repeatS 𝐿) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))

Proof of Theorem repswswrd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 repsw 13503 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉)
2 nn0z 11385 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
3 nn0z 11385 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
42, 3anim12i 589 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
51, 4anim12i 589 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
6 3anass 1040 . . . . 5 (((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ ((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
75, 6sylibr 224 . . . 4 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
873adant3 1079 . . 3 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9 swrdval 13399 . . 3 (((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝐿) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = if((𝑀..^𝑁) ⊆ dom (𝑆 repeatS 𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅))
108, 9syl 17 . 2 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑆 repeatS 𝐿) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = if((𝑀..^𝑁) ⊆ dom (𝑆 repeatS 𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅))
11 repsf 13501 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉)
12113ad2ant1 1080 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑆 repeatS 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉)
13 fdm 6038 . . . . 5 ((𝑆 repeatS 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉 → dom (𝑆 repeatS 𝐿) = (0..^𝐿))
1412, 13syl 17 . . . 4 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → dom (𝑆 repeatS 𝐿) = (0..^𝐿))
1514sseq2d 3625 . . 3 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑀..^𝑁) ⊆ dom (𝑆 repeatS 𝐿) ↔ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿)))
1615ifbid 4099 . 2 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ dom (𝑆 repeatS 𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅))
17 fzon 12473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑀..^𝑁) = ∅))
184, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑀..^𝑁) = ∅))
1918adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑀..^𝑁) = ∅))
2019biimpac 503 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
21 0ss 3963 . . . . . . . 8 ∅ ⊆ (0..^𝐿)
2220, 21syl6eqss 3647 . . . . . . 7 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿))
23 iftrue 4083 . . . . . . 7 ((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))))
25 nn0re 11286 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
26 nn0re 11286 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2725, 26anim12ci 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
2827adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
29 suble0 10527 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑀) ≤ 0 ↔ 𝑁𝑀))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁𝑀) ≤ 0 ↔ 𝑁𝑀))
3130biimparc 504 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑁𝑀) ≤ 0)
32 0z 11373 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
33 zsubcl 11404 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
343, 2, 33syl2anr 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
3534adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
3635adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
37 fzon 12473 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ) → ((𝑁𝑀) ≤ 0 ↔ (0..^(𝑁𝑀)) = ∅))
3832, 36, 37sylancr 694 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → ((𝑁𝑀) ≤ 0 ↔ (0..^(𝑁𝑀)) = ∅))
3931, 38mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (0..^(𝑁𝑀)) = ∅)
4039mpteq1d 4729 . . . . . 6 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))))
41 oveq2 6643 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 𝑁 → (𝑁𝑀) = (𝑁𝑁))
4241oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑁 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑁)))
43 nn0cn 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
4443adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
4544subidd 10365 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑁) = 0)
4645adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝑁) = 0)
4746oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑁)) = (𝑆 repeatS 0))
48 repsw0 13505 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆𝑉 → (𝑆 repeatS 0) = ∅)
4948ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑆 repeatS 0) = ∅)
5047, 49eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑁)) = ∅)
5142, 50sylan9eqr 2676 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅)
5251ex 450 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 = 𝑁 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
5352adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑀 = 𝑁 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
5453com12 32 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑁 → ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
55 elnn0z 11375 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁𝑀)))
56 subge0 10526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
5726, 25, 56syl2anr 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑁𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
5825, 26anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
59 letri3 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
6160biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑁𝑁𝑀) → 𝑀 = 𝑁))
6261expd 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀𝑀 = 𝑁)))
6357, 62sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀𝑀 = 𝑁)))
6463com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀 → (0 ≤ (𝑁𝑀) → 𝑀 = 𝑁)))
6564adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝑀 → (0 ≤ (𝑁𝑀) → 𝑀 = 𝑁)))
6665impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (0 ≤ (𝑁𝑀) → 𝑀 = 𝑁))
6766com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ≤ (𝑁𝑀) → ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝑀 = 𝑁))
6867adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝑀 = 𝑁))
6955, 68sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝑀 = 𝑁))
7069com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝑀 = 𝑁))
7170con3d 148 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → ¬ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0))
7271impcom 446 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ (𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)))) → ¬ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
73 df-nel 2895 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑀) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
7472, 73sylibr 224 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ (𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)))) → (𝑁𝑀) ∉ ℕ0)
75 repsundef 13499 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝑀) ∉ ℕ0 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ (𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)))) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅)
7776ex 450 . . . . . . . 8 𝑀 = 𝑁 → ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
7854, 77pm2.61i 176 . . . . . . 7 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅)
79 mpt0 6008 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = ∅
8078, 79syl6reqr 2673 . . . . . 6 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
8124, 40, 803eqtrd 2658 . . . . 5 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
8281expcom 451 . . . 4 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝑀 → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))))
83823adant3 1079 . . 3 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑁𝑀 → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))))
84 ltnle 10102 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁𝑀))
8558, 84syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁𝑀))
8685bicomd 213 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁𝑀𝑀 < 𝑁))
87863ad2ant2 1081 . . . 4 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (¬ 𝑁𝑀𝑀 < 𝑁))
8823adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))))
8943ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9089adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
91 0zd 11374 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆𝑉 → 0 ∈ ℤ)
92 nn0z 11385 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)
9391, 92anim12i 589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
94933ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
9594adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
96 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 < 𝑁)
97 ssfzo12bi 12547 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ↔ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)))
9890, 95, 96, 97syl3anc 1324 . . . . . . . . 9 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ↔ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)))
99 simpl1l 1110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑆𝑉)
10099ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑆𝑉)
101 simpl1r 1111 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ0)
102101ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
103 elfzonn0 12496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
104 nn0addcl 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0)
105104expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0))
106105adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0))
1071063ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0))
108107ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0))
109103, 108syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0))
110109impcom 446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0)
11192adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℤ)
1121113ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
113112adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝐿 ∈ ℤ)
114 nn0re 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
115114adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
116115, 58anim12ci 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
117 df-3an 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) ↔ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
118116, 117sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
119 ltletr 10114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 < 𝑁𝑁𝐿) → 𝑀 < 𝐿))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 < 𝑁𝑁𝐿) → 𝑀 < 𝐿))
121 elnn0z 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀))
122 0red 10026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0)) → 0 ∈ ℝ)
123 zre 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
124123adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℝ)
125115adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝐿 ∈ ℝ)
126 lelttr 10113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿))
127122, 124, 125, 126syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0)) → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿))
128127expd 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0)) → (0 ≤ 𝑀 → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿)))
129128impancom 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀) → ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿)))
130121, 129sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿)))
131130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿)))
132131impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿))
133120, 132syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 < 𝑁𝑁𝐿) → 0 < 𝐿))
134133expcomd 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝐿 → (𝑀 < 𝑁 → 0 < 𝐿)))
1351343impia 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 < 𝑁 → 0 < 𝐿))
136135imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝐿)
137 elnnz 11372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ ℕ ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿))
138113, 136, 137sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ)
139138ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ)
140 elfzo0 12492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑁𝑀)))
141 nn0readdcl 11342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ)
142141expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ))
143142ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ))
144143impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ)
14526adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
146145adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
147146adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝑁 ∈ ℝ)
148114ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝐿 ∈ ℝ)
149144, 147, 1483jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
150149ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ℕ0 → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ)))
151150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ)))
152151impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀))) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
153152adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀))) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
154 nn0re 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℝ)
155154adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝑥 ∈ ℝ)
15625ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℝ)
157156adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝑀 ∈ ℝ)
158155, 157, 147ltaddsubd 10612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁𝑥 < (𝑁𝑀)))
159 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁))
160159ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑁𝐿 → ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁)))
161160com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁 → (𝑁𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁)))
162158, 161sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑥 < (𝑁𝑀) → (𝑁𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁)))
163162impancom 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁)))
164163impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀))) → (𝑁𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁))
165164impac 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀))) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁𝑁𝐿))
166 ltletr 10114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (((𝑥 + 𝑀) < 𝑁𝑁𝐿) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
167153, 165, 166sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀))) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)
168167exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (𝑁𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)))
169168com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝐿 → ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)))
170169ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐿 → ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))))
171170adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐿 → ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))))
1721713imp 1254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
173172ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
174173com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
1751743adant2 1078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑁𝑀)) → (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
176140, 175sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
177176impcom 446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)
178 elfzo0 12492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^𝐿) ↔ ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
179110, 139, 177, 178syl3anbrc 1244 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^𝐿))
180 repswsymb 13502 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀)) = 𝑆)
181100, 102, 179, 180syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀)) = 𝑆)
182181mpteq2dva 4735 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ 𝑆))
183343ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
184183adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
185583ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
186 ltle 10111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁𝑀𝑁))
187185, 186syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 < 𝑁𝑀𝑁))
188273ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
189188, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (0 ≤ (𝑁𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
190187, 189sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 < 𝑁 → 0 ≤ (𝑁𝑀)))
191190imp 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 0 ≤ (𝑁𝑀))
192184, 191, 55sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
19399, 192jca 554 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆𝑉 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0))
194193adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑆𝑉 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0))
195 reps 13498 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆𝑉 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ 𝑆))
196195eqcomd 2626 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑉 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ 𝑆) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
197194, 196syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ 𝑆) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
198182, 197eqtrd 2654 . . . . . . . . . 10 (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
199198ex 450 . . . . . . . . 9 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((0 ≤ 𝑀𝑁𝐿) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))))
20098, 199sylbid 230 . . . . . . . 8 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))))
201200impcom 446 . . . . . . 7 (((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
20288, 201eqtrd 2654 . . . . . 6 (((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
203 iffalse 4086 . . . . . . . 8 (¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = ∅)
204203adantr 481 . . . . . . 7 ((¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = ∅)
20598notbid 308 . . . . . . . . 9 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ↔ ¬ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)))
206 ianor 509 . . . . . . . . . . 11 (¬ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿) ↔ (¬ 0 ≤ 𝑀 ∨ ¬ 𝑁𝐿))
207 nn0ge0 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
208 pm2.24 121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ≤ 𝑀 → (¬ 0 ≤ 𝑀 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
209207, 208syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑀 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
210209adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 0 ≤ 𝑀 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
2112103ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (¬ 0 ≤ 𝑀 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
212211adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ 0 ≤ 𝑀 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
213212com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (¬ 0 ≤ 𝑀 → ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
214 pm2.24 121 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁𝐿 → (¬ 𝑁𝐿 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
2152143ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (¬ 𝑁𝐿 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
216215adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ 𝑁𝐿 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
217216com12 32 . . . . . . . . . . . 12 𝑁𝐿 → ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
218213, 217jaoi 394 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 0 ≤ 𝑀 ∨ ¬ 𝑁𝐿) → ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
219206, 218sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (¬ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿) → ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
220219com12 32 . . . . . . . . 9 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
221205, 220sylbid 230 . . . . . . . 8 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
222221impcom 446 . . . . . . 7 ((¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅)
223204, 222eqtr4d 2657 . . . . . 6 ((¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
224202, 223pm2.61ian 830 . . . . 5 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
225224ex 450 . . . 4 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 < 𝑁 → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))))
22687, 225sylbid 230 . . 3 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (¬ 𝑁𝑀 → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))))
22783, 226pm2.61d 170 . 2 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
22810, 16, 2273eqtrd 2658 1 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑆 repeatS 𝐿) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wnel 2894  wss 3567  c0 3907  ifcif 4077  cop 4174   class class class wbr 4644  cmpt 4720  dom cdm 5104  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921   + caddc 9924   < clt 10059  cle 10060  cmin 10251  cn 11005  0cn0 11277  cz 11362  ..^cfzo 12449  Word cword 13274   substr csubstr 13278   repeatS creps 13281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-hash 13101  df-word 13282  df-substr 13286  df-reps 13289
This theorem is referenced by:  repswcshw  13539
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