MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rerpdivcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rerpdivcl 11696
Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
rerpdivcl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcl
StepHypRef Expression
1 rprene0 11684 . 2 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
2 redivcl 10596 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
323expb 1258 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
41, 3sylan2 490 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 1977  wne 2780  (class class class)co 6527  cr 9792  0cc0 9793   / cdiv 10536  +crp 11667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-rp 11668
This theorem is referenced by:  ledivge1le  11736  rerpdivcld  11738  icccntr  12142  refldivcl  12444  fldivle  12452  ltdifltdiv  12455  modvalr  12491  flpmodeq  12493  mod0  12495  negmod0  12497  modlt  12499  moddiffl  12501  moddifz  12502  modid  12515  modcyc  12525  modadd1  12527  modmul1  12543  moddi  12558  modsubdir  12559  modirr  12561  sqrtdiv  13803  divrcnv  14372  gexdvds  17771  aaliou3lem8  23849  logdivlt  24116  cxp2limlem  24447  harmonicbnd4  24482  logexprlim  24695  bposlem7  24760  bposlem9  24762  chebbnd1lem3  24905  chebbnd1  24906  chto1ub  24910  chpo1ub  24914  vmadivsum  24916  rplogsumlem1  24918  dchrvmasumlema  24934  dchrvmasumiflem1  24935  dchrisum0fno1  24945  mulogsumlem  24965  logdivsum  24967  mulog2sumlem1  24968  selberg2lem  24984  selberg3lem1  24991  pntrmax  24998  pntpbnd1a  25019  pntpbnd1  25020  pntpbnd2  25021  pntpbnd  25022  pntibndlem3  25026  pntlem3  25043  pntleml  25045  pnt2  25047  subfacval3  30219  heiborlem6  32579  fldivmod  42099
  Copyright terms: Public domain W3C validator