Theorem rerpdivcl 12413

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprene0 12400	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
2		redivcl 11353	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
3	2	3expb 1116	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 3	sylan2 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531   / cdiv 11291  ℝ⁺crp 12383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-rp 12384

This theorem is referenced by:  ledivge1le  12454  rerpdivcld  12456  icccntr  12872  refldivcl  13187  fldivle  13195  ltdifltdiv  13198  modvalr  13234  flpmodeq  13236  mod0  13238  negmod0  13240  modlt  13242  moddiffl  13244  moddifz  13245  modid  13258  modcyc  13268  modadd1  13270  modmul1  13286  moddi  13301  modsubdir  13302  modirr  13304  sqrtdiv  14619  divrcnv  15201  gexdvds  18703  aaliou3lem8  24928  logdivlt  25198  cxp2limlem  25547  harmonicbnd4  25582  logexprlim  25795  bposlem7  25860  bposlem9  25862  chebbnd1lem3  26041  chebbnd1  26042  chto1ub  26046  chpo1ub  26050  vmadivsum  26052  rplogsumlem1  26054  dchrvmasumlema  26070  dchrvmasumiflem1  26071  dchrisum0fno1  26081  mulogsumlem  26101  logdivsum  26103  mulog2sumlem1  26104  selberg2lem  26120  selberg3lem1  26127  pntrmax  26134  pntpbnd1a  26155  pntpbnd1  26156  pntpbnd2  26157  pntpbnd  26158  pntibndlem3  26162  pntlem3  26179  pntleml  26181  pnt2  26183  subfacval3  32431  heiborlem6  35088  fldivmod  44571