MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rerpdivcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rerpdivcl 12074
Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
rerpdivcl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcl
StepHypRef Expression
1 rprene0 12062 . 2 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
2 redivcl 10956 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
323expb 1114 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
41, 3sylan2 492 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2139  wne 2932  (class class class)co 6814  cr 10147  0cc0 10148   / cdiv 10896  +crp 12045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-rp 12046
This theorem is referenced by:  ledivge1le  12114  rerpdivcld  12116  icccntr  12525  refldivcl  12838  fldivle  12846  ltdifltdiv  12849  modvalr  12885  flpmodeq  12887  mod0  12889  negmod0  12891  modlt  12893  moddiffl  12895  moddifz  12896  modid  12909  modcyc  12919  modadd1  12921  modmul1  12937  moddi  12952  modsubdir  12953  modirr  12955  sqrtdiv  14225  divrcnv  14803  gexdvds  18219  aaliou3lem8  24319  logdivlt  24587  cxp2limlem  24922  harmonicbnd4  24957  logexprlim  25170  bposlem7  25235  bposlem9  25237  chebbnd1lem3  25380  chebbnd1  25381  chto1ub  25385  chpo1ub  25389  vmadivsum  25391  rplogsumlem1  25393  dchrvmasumlema  25409  dchrvmasumiflem1  25410  dchrisum0fno1  25420  mulogsumlem  25440  logdivsum  25442  mulog2sumlem1  25443  selberg2lem  25459  selberg3lem1  25466  pntrmax  25473  pntpbnd1a  25494  pntpbnd1  25495  pntpbnd2  25496  pntpbnd  25497  pntibndlem3  25501  pntlem3  25518  pntleml  25520  pnt2  25522  subfacval3  31499  heiborlem6  33946  fldivmod  42841
  Copyright terms: Public domain W3C validator