MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rerpdivcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rerpdivcld 12116
Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rerpdivcld (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 rpgecld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 rerpdivcl 12074 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  (class class class)co 6814  cr 10147   / cdiv 10896  +crp 12045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-rp 12046
This theorem is referenced by:  iccf1o  12529  xov1plusxeqvd  12531  expmulnbnd  13210  discr  13215  geomulcvg  14826  mertenslem1  14835  retanhcl  15108  bitsfzolem  15378  bitsfzo  15379  bitsmod  15380  odmodnn0  18179  nmoi  22753  nmoleub  22756  icopnfcnv  22962  nmoleub2lem  23134  nmoleub2lem3  23135  pjthlem1  23428  ovolscalem1  23501  ovolscalem2  23502  ovolsca  23503  mbfmulc2lem  23633  itg2const2  23727  dvferm1lem  23966  abelthlem7  24411  logdivlti  24586  logdivle  24588  logcnlem3  24610  logcnlem4  24611  advlogexp  24621  cxpaddle  24713  cxploglim  24924  cxploglim2  24925  lgamgulmlem2  24976  lgamgulmlem3  24977  lgamucov  24984  ftalem1  25019  ftalem2  25020  basellem3  25029  fsumvma2  25159  chpval2  25163  chpchtsum  25164  chpub  25165  logfacrlim  25169  logexprlim  25170  efexple  25226  bposlem9  25237  chebbnd1lem2  25379  chebbnd1lem3  25380  chtppilim  25384  chpchtlim  25388  chpo1ubb  25390  rplogsumlem1  25393  rplogsumlem2  25394  rpvmasumlem  25396  dchrmusum2  25403  dchrvmasumlem2  25407  dchrisum0fno1  25420  dchrisum0lem1b  25424  dchrisum0lem1  25425  dchrisum0lem2a  25426  rplogsum  25436  mulog2sumlem1  25443  mulog2sumlem2  25444  vmalogdivsum2  25447  vmalogdivsum  25448  2vmadivsumlem  25449  log2sumbnd  25453  selberglem2  25455  selbergb  25458  selberg2b  25461  chpdifbndlem1  25462  selberg3lem1  25466  selberg3lem2  25467  selberg3  25468  selberg4lem1  25469  selberg4  25470  pntrsumo1  25474  selberg3r  25478  selberg4r  25479  selberg34r  25480  pntrlog2bndlem1  25486  pntrlog2bndlem2  25487  pntrlog2bndlem3  25488  pntrlog2bndlem4  25489  pntrlog2bndlem5  25490  pntrlog2bndlem6  25492  pntrlog2bnd  25493  pntpbnd1a  25494  pntpbnd2  25496  pntibndlem2  25500  pntibndlem3  25501  pntlemb  25506  pntlemg  25507  pntlemh  25508  pntlemn  25509  pntlemr  25511  pntlemj  25512  pntlemf  25514  pntlemk  25515  pntlemo  25516  pnt  25523  ostth2lem1  25527  ostth2lem4  25545  ostth3  25547  pjhthlem1  28580  esumcst  30455  dya2iocress  30666  dya2iocbrsiga  30667  dya2icobrsiga  30668  sxbrsigalem2  30678  probmeasb  30822  itg2addnclem3  33794  ftc1anclem7  33822  geomcau  33886  cntotbnd  33926  bfplem1  33952  binomcxplemnotnn0  39075  divlt0gt0d  40015  lefldiveq  40022  ltmod  40391  0ellimcdiv  40402  wallispilem5  40807  stirlingr  40828  dirkercncflem1  40841  fourierdlem65  40909  hoiqssbllem2  41361
  Copyright terms: Public domain W3C validator