MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rerpdivcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rerpdivcld 11738
Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rerpdivcld (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 rpgecld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 rerpdivcl 11696 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 691 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977  (class class class)co 6527  cr 9792   / cdiv 10536  +crp 11667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-rp 11668
This theorem is referenced by:  iccf1o  12146  xov1plusxeqvd  12148  expmulnbnd  12816  discr  12821  geomulcvg  14395  mertenslem1  14404  retanhcl  14677  bitsfzolem  14943  bitsfzo  14944  bitsmod  14945  odmodnn0  17731  nmoi  22290  nmoleub  22293  icopnfcnv  22497  nmoleub2lem  22670  nmoleub2lem3  22671  pjthlem1  22961  ovolscalem1  23033  ovolscalem2  23034  ovolsca  23035  mbfmulc2lem  23165  itg2const2  23259  dvferm1lem  23496  abelthlem7  23941  logdivlti  24115  logdivle  24117  logcnlem3  24135  logcnlem4  24136  advlogexp  24146  cxpaddle  24238  cxploglim  24449  cxploglim2  24450  lgamgulmlem2  24501  lgamgulmlem3  24502  lgamucov  24509  ftalem1  24544  ftalem2  24545  basellem3  24554  fsumvma2  24684  chpval2  24688  chpchtsum  24689  chpub  24690  logfacrlim  24694  logexprlim  24695  efexple  24751  bposlem9  24762  chebbnd1lem2  24904  chebbnd1lem3  24905  chtppilim  24909  chpchtlim  24913  chpo1ubb  24915  rplogsumlem1  24918  rplogsumlem2  24919  rpvmasumlem  24921  dchrmusum2  24928  dchrvmasumlem2  24932  dchrisum0fno1  24945  dchrisum0lem1b  24949  dchrisum0lem1  24950  dchrisum0lem2a  24951  rplogsum  24961  mulog2sumlem1  24968  mulog2sumlem2  24969  vmalogdivsum2  24972  vmalogdivsum  24973  2vmadivsumlem  24974  log2sumbnd  24978  selberglem2  24980  selbergb  24983  selberg2b  24986  chpdifbndlem1  24987  selberg3lem1  24991  selberg3lem2  24992  selberg3  24993  selberg4lem1  24994  selberg4  24995  pntrsumo1  24999  selberg3r  25003  selberg4r  25004  selberg34r  25005  pntrlog2bndlem1  25011  pntrlog2bndlem2  25012  pntrlog2bndlem3  25013  pntrlog2bndlem4  25014  pntrlog2bndlem5  25015  pntrlog2bndlem6  25017  pntrlog2bnd  25018  pntpbnd1a  25019  pntpbnd2  25021  pntibndlem2  25025  pntibndlem3  25026  pntlemb  25031  pntlemg  25032  pntlemh  25033  pntlemn  25034  pntlemr  25036  pntlemj  25037  pntlemf  25039  pntlemk  25040  pntlemo  25041  pnt  25048  ostth2lem1  25052  ostth2lem4  25070  ostth3  25072  pjhthlem1  27428  esumcst  29246  dya2iocress  29457  dya2iocbrsiga  29458  dya2icobrsiga  29459  sxbrsigalem2  29469  probmeasb  29613  itg2addnclem3  32427  ftc1anclem7  32455  geomcau  32519  cntotbnd  32559  bfplem1  32585  binomcxplemnotnn0  37371  divlt0gt0d  38233  lefldiveq  38240  ltmod  38499  0ellimcdiv  38510  wallispilem5  38756  stirlingr  38777  dirkercncflem1  38790  fourierdlem65  38858  hoiqssbllem2  39307
  Copyright terms: Public domain W3C validator