MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rerpdivcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rerpdivcld 12452
Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rerpdivcld (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 rpgecld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 rerpdivcl 12409 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  (class class class)co 7145  cr 10525   / cdiv 11286  +crp 12379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-rp 12380
This theorem is referenced by:  iccf1o  12872  xov1plusxeqvd  12874  expmulnbnd  13586  discr  13591  geomulcvg  15222  mertenslem1  15230  retanhcl  15502  bitsfzolem  15773  bitsfzo  15774  bitsmod  15775  odmodnn0  18599  nmoi  23266  nmoleub  23269  icopnfcnv  23475  nmoleub2lem  23647  nmoleub2lem3  23648  pjthlem1  23969  ovolscalem1  24043  ovolscalem2  24044  ovolsca  24045  mbfmulc2lem  24177  itg2const2  24271  dvferm1lem  24510  abelthlem7  24955  logdivlti  25130  logdivle  25132  logcnlem3  25154  logcnlem4  25155  advlogexp  25165  cxpaddle  25260  cxploglim  25483  cxploglim2  25484  lgamgulmlem2  25535  lgamgulmlem3  25536  lgamucov  25543  ftalem1  25578  ftalem2  25579  basellem3  25588  fsumvma2  25718  chpval2  25722  chpchtsum  25723  chpub  25724  logfacrlim  25728  logexprlim  25729  efexple  25785  bposlem9  25796  chebbnd1lem2  25974  chebbnd1lem3  25975  chtppilim  25979  chpchtlim  25983  chpo1ubb  25985  rplogsumlem1  25988  rplogsumlem2  25989  rpvmasumlem  25991  dchrmusum2  25998  dchrvmasumlem2  26002  dchrisum0fno1  26015  dchrisum0lem1b  26019  dchrisum0lem1  26020  dchrisum0lem2a  26021  rplogsum  26031  mulog2sumlem1  26038  mulog2sumlem2  26039  vmalogdivsum2  26042  vmalogdivsum  26043  2vmadivsumlem  26044  log2sumbnd  26048  selberglem2  26050  selbergb  26053  selberg2b  26056  chpdifbndlem1  26057  selberg3lem1  26061  selberg3lem2  26062  selberg3  26063  selberg4lem1  26064  selberg4  26065  pntrsumo1  26069  selberg3r  26073  selberg4r  26074  selberg34r  26075  pntrlog2bndlem1  26081  pntrlog2bndlem2  26082  pntrlog2bndlem3  26083  pntrlog2bndlem4  26084  pntrlog2bndlem5  26085  pntrlog2bndlem6  26087  pntrlog2bnd  26088  pntpbnd1a  26089  pntpbnd2  26091  pntibndlem2  26095  pntibndlem3  26096  pntlemb  26101  pntlemg  26102  pntlemh  26103  pntlemn  26104  pntlemr  26106  pntlemj  26107  pntlemf  26109  pntlemk  26110  pntlemo  26111  pnt  26118  ostth2lem1  26122  ostth2lem4  26140  ostth3  26142  pjhthlem1  29096  esumcst  31222  dya2iocress  31432  dya2iocbrsiga  31433  dya2icobrsiga  31434  sxbrsigalem2  31444  probmeasb  31588  itg2addnclem3  34827  ftc1anclem7  34855  geomcau  34917  cntotbnd  34957  bfplem1  34983  fltnlta  39155  binomcxplemnotnn0  40568  divlt0gt0d  41432  lefldiveq  41439  ltmod  41799  0ellimcdiv  41810  wallispilem5  42235  stirlingr  42256  dirkercncflem1  42269  fourierdlem65  42337  hoiqssbllem2  42786
  Copyright terms: Public domain W3C validator