MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rerpdivcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rerpdivcld 12450
Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rerpdivcld (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 rpgecld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 rerpdivcl 12407 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  (class class class)co 7145  cr 10524   / cdiv 11285  +crp 12377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-rp 12378
This theorem is referenced by:  iccf1o  12870  xov1plusxeqvd  12872  expmulnbnd  13584  discr  13589  geomulcvg  15220  mertenslem1  15228  retanhcl  15500  bitsfzolem  15771  bitsfzo  15772  bitsmod  15773  odmodnn0  18597  nmoi  23264  nmoleub  23267  icopnfcnv  23473  nmoleub2lem  23645  nmoleub2lem3  23646  pjthlem1  23967  ovolscalem1  24041  ovolscalem2  24042  ovolsca  24043  mbfmulc2lem  24175  itg2const2  24269  dvferm1lem  24508  abelthlem7  24953  logdivlti  25130  logdivle  25132  logcnlem3  25154  logcnlem4  25155  advlogexp  25165  cxpaddle  25260  cxploglim  25482  cxploglim2  25483  lgamgulmlem2  25534  lgamgulmlem3  25535  lgamucov  25542  ftalem1  25577  ftalem2  25578  basellem3  25587  fsumvma2  25717  chpval2  25721  chpchtsum  25722  chpub  25723  logfacrlim  25727  logexprlim  25728  efexple  25784  bposlem9  25795  chebbnd1lem2  25973  chebbnd1lem3  25974  chtppilim  25978  chpchtlim  25982  chpo1ubb  25984  rplogsumlem1  25987  rplogsumlem2  25988  rpvmasumlem  25990  dchrmusum2  25997  dchrvmasumlem2  26001  dchrisum0fno1  26014  dchrisum0lem1b  26018  dchrisum0lem1  26019  dchrisum0lem2a  26020  rplogsum  26030  mulog2sumlem1  26037  mulog2sumlem2  26038  vmalogdivsum2  26041  vmalogdivsum  26042  2vmadivsumlem  26043  log2sumbnd  26047  selberglem2  26049  selbergb  26052  selberg2b  26055  chpdifbndlem1  26056  selberg3lem1  26060  selberg3lem2  26061  selberg3  26062  selberg4lem1  26063  selberg4  26064  pntrsumo1  26068  selberg3r  26072  selberg4r  26073  selberg34r  26074  pntrlog2bndlem1  26080  pntrlog2bndlem2  26081  pntrlog2bndlem3  26082  pntrlog2bndlem4  26083  pntrlog2bndlem5  26084  pntrlog2bndlem6  26086  pntrlog2bnd  26087  pntpbnd1a  26088  pntpbnd2  26090  pntibndlem2  26094  pntibndlem3  26095  pntlemb  26100  pntlemg  26101  pntlemh  26102  pntlemn  26103  pntlemr  26105  pntlemj  26106  pntlemf  26108  pntlemk  26109  pntlemo  26110  pnt  26117  ostth2lem1  26121  ostth2lem4  26139  ostth3  26141  pjhthlem1  29095  esumcst  31221  dya2iocress  31431  dya2iocbrsiga  31432  dya2icobrsiga  31433  sxbrsigalem2  31443  probmeasb  31587  itg2addnclem3  34826  ftc1anclem7  34854  geomcau  34915  cntotbnd  34955  bfplem1  34981  fltnlta  39153  binomcxplemnotnn0  40565  divlt0gt0d  41428  lefldiveq  41435  ltmod  41795  0ellimcdiv  41806  wallispilem5  42231  stirlingr  42252  dirkercncflem1  42265  fourierdlem65  42333  hoiqssbllem2  42782
  Copyright terms: Public domain W3C validator