MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescabs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rescabs2 16265
Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescabs2.c (𝜑𝐶𝑉)
rescabs2.j (𝜑𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
rescabs2.s (𝜑𝑆𝑊)
rescabs2.t (𝜑𝑇𝑆)
Assertion
Ref Expression
rescabs2 (𝜑 → ((𝐶s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (𝐶cat 𝐽))

Proof of Theorem rescabs2
StepHypRef Expression
1 rescabs2.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑊)
2 rescabs2.t . . . 4 (𝜑𝑇𝑆)
3 ressabs 15714 . . . 4 ((𝑆𝑊𝑇𝑆) → ((𝐶s 𝑆) ↾s 𝑇) = (𝐶s 𝑇))
41, 2, 3syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → ((𝐶s 𝑆) ↾s 𝑇) = (𝐶s 𝑇))
54oveq1d 6541 . 2 (𝜑 → (((𝐶s 𝑆) ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩) = ((𝐶s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
6 eqid 2609 . . 3 ((𝐶s 𝑆) ↾cat 𝐽) = ((𝐶s 𝑆) ↾cat 𝐽)
7 ovex 6554 . . . 4 (𝐶s 𝑆) ∈ V
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐶s 𝑆) ∈ V)
91, 2ssexd 4727 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ V)
10 rescabs2.j . . 3 (𝜑𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
116, 8, 9, 10rescval2 16259 . 2 (𝜑 → ((𝐶s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (((𝐶s 𝑆) ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
12 eqid 2609 . . 3 (𝐶cat 𝐽) = (𝐶cat 𝐽)
13 rescabs2.c . . 3 (𝜑𝐶𝑉)
1412, 13, 9, 10rescval2 16259 . 2 (𝜑 → (𝐶cat 𝐽) = ((𝐶s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
155, 11, 143eqtr4d 2653 1 (𝜑 → ((𝐶s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (𝐶cat 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  wss 3539  cop 4130   × cxp 5025   Fn wfn 5784  cfv 5789  (class class class)co 6526  ndxcnx 15640   sSet csts 15641  s cress 15644  Hom chom 15727  cat cresc 16239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-nn 10870  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-resc 16242
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator