Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rescco 16539
 Description: Composition in the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d 𝐷 = (𝐶cat 𝐻)
rescbas.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c (𝜑𝐶𝑉)
rescbas.h (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s (𝜑𝑆𝐵)
rescco.o · = (comp‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
rescco (𝜑· = (comp‘𝐷))

Proof of Theorem rescco
StepHypRef Expression
1 ccoid 16124 . . 3 comp = Slot (comp‘ndx)
2 1nn0 11346 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
3 4nn 11225 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ
42, 3decnncl 11556 . . . . . 6 14 ∈ ℕ
54nnrei 11067 . . . . 5 14 ∈ ℝ
6 4nn0 11349 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
7 5nn 11226 . . . . . 6 5 ∈ ℕ
8 4lt5 11238 . . . . . 6 4 < 5
92, 6, 7, 8declt 11568 . . . . 5 14 < 15
105, 9gtneii 10187 . . . 4 15 ≠ 14
11 ccondx 16123 . . . . 5 (comp‘ndx) = 15
12 homndx 16121 . . . . 5 (Hom ‘ndx) = 14
1311, 12neeq12i 2889 . . . 4 ((comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ 15 ≠ 14)
1410, 13mpbir 221 . . 3 (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
151, 14setsnid 15962 . 2 (comp‘(𝐶s 𝑆)) = (comp‘((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
16 rescbas.s . . . 4 (𝜑𝑆𝐵)
17 rescbas.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐶)
18 fvex 6239 . . . . . 6 (Base‘𝐶) ∈ V
1917, 18eqeltri 2726 . . . . 5 𝐵 ∈ V
2019ssex 4835 . . . 4 (𝑆𝐵𝑆 ∈ V)
2116, 20syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ V)
22 eqid 2651 . . . 4 (𝐶s 𝑆) = (𝐶s 𝑆)
23 rescco.o . . . 4 · = (comp‘𝐶)
2422, 23ressco 16126 . . 3 (𝑆 ∈ V → · = (comp‘(𝐶s 𝑆)))
2521, 24syl 17 . 2 (𝜑· = (comp‘(𝐶s 𝑆)))
26 rescbas.d . . . 4 𝐷 = (𝐶cat 𝐻)
27 rescbas.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑉)
28 rescbas.h . . . 4 (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
2926, 27, 21, 28rescval2 16535 . . 3 (𝜑𝐷 = ((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
3029fveq2d 6233 . 2 (𝜑 → (comp‘𝐷) = (comp‘((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
3115, 25, 303eqtr4a 2711 1 (𝜑· = (comp‘𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  ⟨cop 4216   × cxp 5141   Fn wfn 5921  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1c1 9975  4c4 11110  5c5 11111  ;cdc 11531  ndxcnx 15901   sSet csts 15902  Basecbs 15904   ↾s cress 15905  Hom chom 15999  compcco 16000   ↾cat cresc 16515 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-hom 16013  df-cco 16014  df-resc 16518 This theorem is referenced by:  subccatid  16553  issubc3  16556  fullresc  16558  funcres  16603  funcres2b  16604  rngccofval  42295  ringccofval  42341
 Copyright terms: Public domain W3C validator