MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rescco 16261
Description: Composition in the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d 𝐷 = (𝐶cat 𝐻)
rescbas.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c (𝜑𝐶𝑉)
rescbas.h (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s (𝜑𝑆𝐵)
rescco.o · = (comp‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
rescco (𝜑· = (comp‘𝐷))

Proof of Theorem rescco
StepHypRef Expression
1 ccoid 15846 . . 3 comp = Slot (comp‘ndx)
2 1nn0 11155 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
3 4nn 11034 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ
42, 3decnncl 11350 . . . . . 6 14 ∈ ℕ
54nnrei 10876 . . . . 5 14 ∈ ℝ
6 4nn0 11158 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
7 5nn 11035 . . . . . 6 5 ∈ ℕ
8 4lt5 11047 . . . . . 6 4 < 5
92, 6, 7, 8declt 11362 . . . . 5 14 < 15
105, 9gtneii 10000 . . . 4 15 ≠ 14
11 ccondx 15845 . . . . 5 (comp‘ndx) = 15
12 homndx 15843 . . . . 5 (Hom ‘ndx) = 14
1311, 12neeq12i 2847 . . . 4 ((comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ 15 ≠ 14)
1410, 13mpbir 219 . . 3 (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
151, 14setsnid 15689 . 2 (comp‘(𝐶s 𝑆)) = (comp‘((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
16 rescbas.s . . . 4 (𝜑𝑆𝐵)
17 rescbas.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐶)
18 fvex 6098 . . . . . 6 (Base‘𝐶) ∈ V
1917, 18eqeltri 2683 . . . . 5 𝐵 ∈ V
2019ssex 4725 . . . 4 (𝑆𝐵𝑆 ∈ V)
2116, 20syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ V)
22 eqid 2609 . . . 4 (𝐶s 𝑆) = (𝐶s 𝑆)
23 rescco.o . . . 4 · = (comp‘𝐶)
2422, 23ressco 15848 . . 3 (𝑆 ∈ V → · = (comp‘(𝐶s 𝑆)))
2521, 24syl 17 . 2 (𝜑· = (comp‘(𝐶s 𝑆)))
26 rescbas.d . . . 4 𝐷 = (𝐶cat 𝐻)
27 rescbas.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑉)
28 rescbas.h . . . 4 (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
2926, 27, 21, 28rescval2 16257 . . 3 (𝜑𝐷 = ((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
3029fveq2d 6092 . 2 (𝜑 → (comp‘𝐷) = (comp‘((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
3115, 25, 303eqtr4a 2669 1 (𝜑· = (comp‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172  wss 3539  cop 4130   × cxp 5026   Fn wfn 5785  cfv 5790  (class class class)co 6527  1c1 9793  4c4 10919  5c5 10920  cdc 11325  ndxcnx 15638   sSet csts 15639  Basecbs 15641  s cress 15642  Hom chom 15725  compcco 15726  cat cresc 16237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-hom 15739  df-cco 15740  df-resc 16240
This theorem is referenced by:  subccatid  16275  issubc3  16278  fullresc  16280  funcres  16325  funcres2b  16326  rngccofval  41757  ringccofval  41803
  Copyright terms: Public domain W3C validator