Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  residfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem residfi 40164
Description: A restricted identity function is finite iff the restricting class is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
residfi (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem residfi
StepHypRef Expression
1 dmresi 5360 . . 3 dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
2 dmfi 8103 . . 3 (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin → dom ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
31, 2syl5eqelr 2689 . 2 (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
4 funi 5817 . . . 4 Fun I
5 funfn 5816 . . . 4 (Fun I ↔ I Fn dom I )
64, 5mpbi 218 . . 3 I Fn dom I
7 resfnfinfin 40163 . . 3 (( I Fn dom I ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
86, 7mpan 701 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
93, 8impbii 197 1 (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wcel 1976   I cid 4935  dom cdm 5025  cres 5027  Fun wfun 5781   Fn wfn 5782  Fincfn 7815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-fin 7819
This theorem is referenced by:  fusgrfisstep  40547
  Copyright terms: Public domain W3C validator