MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  residfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem residfi 8207
Description: A restricted identity function is finite iff the restricting class is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
residfi (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem residfi
StepHypRef Expression
1 dmresi 5426 . . 3 dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
2 dmfi 8204 . . 3 (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin → dom ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
31, 2syl5eqelr 2703 . 2 (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
4 funi 5888 . . . 4 Fun I
5 funfn 5887 . . . 4 (Fun I ↔ I Fn dom I )
64, 5mpbi 220 . . 3 I Fn dom I
7 resfnfinfin 8206 . . 3 (( I Fn dom I ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
86, 7mpan 705 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
93, 8impbii 199 1 (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wcel 1987   I cid 4994  dom cdm 5084  cres 5086  Fun wfun 5851   Fn wfn 5852  Fincfn 7915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-fin 7919
This theorem is referenced by:  fusgrfisstep  26143
  Copyright terms: Public domain W3C validator