Theorem residpr 6899

Description: Restriction of the identity to a pair. (Contributed by AV, 11-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
residpr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩})

Proof of Theorem residpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4563	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2	1	reseq2i 5844	. . 3 ⊢ ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = ( I ↾ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
3		resundi 5861	. . 3 ⊢ ( I ↾ ({𝐴} ∪ {𝐵})) = (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵}))
4	2, 3	eqtri 2844	. 2 ⊢ ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵}))
5		xpsng 6895	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
6	5	anidms 569	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
7	6	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
8		xpsng 6895	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐵} × {𝐵}) = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
9	8	anidms 569	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({𝐵} × {𝐵}) = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
10	9	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐵} × {𝐵}) = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
11	7, 10	uneq12d 4139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (({𝐴} × {𝐴}) ∪ ({𝐵} × {𝐵})) = ({⟨𝐴, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐵⟩}))
12		restidsing 5916	. . . 4 ⊢ ( I ↾ {𝐴}) = ({𝐴} × {𝐴})
13		restidsing 5916	. . . 4 ⊢ ( I ↾ {𝐵}) = ({𝐵} × {𝐵})
14	12, 13	uneq12i 4136	. . 3 ⊢ (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵})) = (({𝐴} × {𝐴}) ∪ ({𝐵} × {𝐵}))
15		df-pr 4563	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩} = ({⟨𝐴, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐵⟩})
16	11, 14, 15	3eqtr4g 2881	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵})) = {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩})
17	4, 16	syl5eq 2868	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∪ cun 3933  {csn 4560  {cpr 4562  ⟨cop 4566   I cid 5453   × cxp 5547   ↾ cres 5551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356

This theorem is referenced by:  psgnprfval1  18644