Theorem resiexg 7622

Description: The existence of a restricted identity function, proved without using the Axiom of Replacement (unlike resfunexg 6981). (Contributed by NM, 13-Jan-2007.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
resiexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem resiexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idssxp 5919	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐴) ⊆ (𝐴 × 𝐴)
2		sqxpexg 7480	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
3		ssexg 5230	. 2 ⊢ ((( I ↾ 𝐴) ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 589	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  Vcvv 3497   ⊆ wss 3939   I cid 5462   × cxp 5556   ↾ cres 5560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-res 5570

This theorem is referenced by:  ordiso  8983  wdomref  9039  dfac9  9565  relexp0g  14384  relexpsucnnr  14387  ndxarg  16511  idfu2nd  17150  idfu1st  17152  idfucl  17154  funcestrcsetclem4  17396  equivestrcsetc  17405  funcsetcestrclem4  17411  sursubmefmnd  18064  injsubmefmnd  18065  smndex1n0mnd  18080  pf1ind  20521  islinds2  20960  ausgrusgrb  26953  upgrres1lem1  27094  cusgrexilem1  27224  sizusglecusg  27248  pliguhgr  28266  bj-evalid  34371  bj-diagval  34470  poimirlem15  34911  xrnidresex  35659  dib0  38304  dicn0  38332  cdlemn11a  38347  dihord6apre  38396  dihatlat  38474  dihpN  38476  eldioph2lem1  39363  eldioph2lem2  39364  dfrtrcl5  39995  dfrcl2  40025  relexpiidm  40055  uspgrsprfo  44030  rngcidALTV  44269  ringcidALTV  44332