Theorem resin4p 15490

Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the sine of a real number. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
efi4p.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
resin4p	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem resin4p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resinval 15487	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))))
2		recn 10626	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		efi4p.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
4	3	efi4p 15489	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)))
6	5	fveq2d 6673	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (ℑ‘(((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))
7		1re 10640	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		resqcl 13489	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
9	8	rehalfcld 11883	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ)
10		resubcl 10949	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
11	7, 9, 10	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 10668	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℂ)
13		ax-icn 10595	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
14		3nn0 11914	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		reexpcl 13445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
16	14, 15	mpan2 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
17		6re 11726	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℝ
18		6pos 11746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 6
19	17, 18	gt0ne0ii 11175	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ≠ 0
20		redivcl 11358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ 6 ≠ 0) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
21	17, 19, 20	mp3an23 1449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑3) ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
22	16, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
23		resubcl 10949	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
24	22, 23	mpdan 685	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
25	24	recnd 10668	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℂ)
26		mulcl 10620	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) ∈ ℂ)
27	13, 25, 26	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) ∈ ℂ)
28	12, 27	addcld 10659	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) ∈ ℂ)
29		mulcl 10620	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
30	13, 2, 29	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31		4nn0 11915	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
32	3	eftlcl 15459	. . . . 5 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
33	30, 31, 32	sylancl 588	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
34	28, 33	imaddd 14573	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))) = ((ℑ‘((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))
35	11, 24	crimd 14590	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))
36	35	oveq1d 7170	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((ℑ‘((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))
37	6, 34, 36	3eqtrd 2860	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))
38	1, 37	eqtrd 2856	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ↦ cmpt 5145  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℂcc 10534  ℝcr 10535  0cc0 10536  1c1 10537  ici 10538   + caddc 10539   · cmul 10541   − cmin 10869   / cdiv 11296  2c2 11691  3c3 11692  4c4 11693  6c6 11695  ℕ₀cn0 11896  ℤ_≥cuz 12242  ↑cexp 13428  !cfa 13632  ℑcim 14456  Σcsu 15041  expce 15414  sincsin 15416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-pm 8408  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-ico 12743  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13429  df-fac 13633  df-hash 13690  df-shft 14425  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-limsup 14827  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-ef 15420  df-sin 15422

This theorem is referenced by:  sin01bnd  15537